高校数学：複素数解と方程式

こんにちは。今回は複素数と方程式について書いておきます。例題を追ってみていきましょう。

例題を見てみよう

【例題】 $a, b$ を実数とする。2次方程式 $ax^2+bx+1=0$ の解の一つが, $2-3i$ であるとき, $a, b$ の値と他の解を求めよ。
【解法1】はやや面倒な解き方ですが, 教科書的な解き方です。【解法2】では工夫することで, 比較的簡単に解けるので, おすすめの解法です。

解法1・代入

【解法1】1つの解がわかっているときは, 基本代入して考えます。
しかたがって, $x=2-3i$ を与式の方程式に代入します。
$a(2-3i)^2+b(2-3i)+1=0$
$a(-5-12i)+2b-3bi+1=0$ }
$-5a-12ai+2b-3bi+1=0$
実部と虚部に分けると
$-5a+2b+1+(-12a-3b)i=0$
左辺 $=0$ なので,
$-5a+2b+1=0, -12a-3b=0$
この連立方程式を解いて,
$a=\dfrac{1}{13}, b=-\dfrac{4}{13}$
したがって方程式は
$\dfrac{1}{13}x^2-\dfrac{4}{13}x+1=0$ となるので,
両辺13倍して,
$x^2-4x+13=0$
これを解いて, $x=2\pm3i$
他の解は, $x=2+3i$

解法2・式変形して2乗

【解法2】 $a, b$ は実数なので, $x=2-3i$ を $x-2=3i$ として両辺を2乗します。
$(x-2)^2=(3i)^2$
$x^2-4x+4=-9$
$x^2-4x+13=0\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
これで, $x=2-3i$ を解に持つ2次方程式が求まりましたが,
問題の2次方程式は定数項の部分が1なので, それに合わせるため, $\textcircled{\scriptsize 1}$ の両辺を13で割って,
$\dfrac{1}{13}x^2-\dfrac{4}{13}x+1=0$
与式と係数比較して,
$a=\dfrac{1}{13}, b=-\dfrac{4}{13}$
他の解は $\textcircled{\scriptsize 1}$ を解いて,
$x=2+3i$