高校数学:三角関数の合成は加法定理の逆

こんにちは。今回は三角関数の合成についてです。

三角関数の合成とは

こんなやつです
A\sin\theta+B\cos\theta=\sqrt{A^2+B^2}\sin(\theta+\alpha)
ただし, \alpha
\cos\alpha=\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}, \sin\alpha=\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}を満たすものとする。
ってやつです。

なぜそうなるか

まず何で\sqrt{A^2+B^2}が出てくるかというと,
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1
を満たすようにするためです。
つまり, A\sin\theta+B\cos\thetaを次のように変形するのです。
\sqrt{A^2+B^2}\underline{\left(\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin\theta+\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\cos\theta\right)}
と変形します。
※ちなみに前途したように, \left(\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)^2+\left(\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)^2=1
になっています。
ここで, 下線部に\sinの加法定理の逆を適用します。
加法定理の逆とは次のようなことです。
\sin\theta\cos\alpha+\sin\alpha\cos\theta=\sin(\theta+\alpha)
というものです。
これを下線部に当てはめると,
\cos\alpha=\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}, \sin\alpha=\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}
と考えても差し支えないので,
したがって, 下線部は次のようになります。
\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin\theta+\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\cos\theta=\sin(\theta+\alpha)
このとき, \alphaの満たす条件として,
\cos\alpha=\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}, \sin\alpha=\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}が出てきます。

以上のことから, 三角関数の合成式
A\sin\theta+B\cos\theta=\sqrt{A^2+B^2}\sin(\theta+\alpha)
ただし, \alpha
\cos\alpha=\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}, \sin\alpha=\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}を満たすものとする。
が成立します。

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