こんにちは。相城です。今回は極座標を用いて作成しました。交点のプログラムの挙動が今一つ、つかめていません。点の記号を打つ位置が思い通りにならないことがあります。それでは問題です。
図1のように、点Oを中心とする円の周上に、3点A、B、Cがあり、である。また、
の大きさは90
より大きいものとする。点Cを通り線分ABに平行な直線と円Oとの交点のうち点Cとは異なる点をDとし、線分CDについて点Aと反対側の円周上に点Eをとる。線分CDと線分AE、BEとの交点をそれぞれF、Gとし、線分AEと線分BDとの交点をHとする。このとき、次の問いに答えなさい。
1.、
であるとき、
の大きさを求めなさい。
2.△AHB∽△FGEであることを証明しなさい。
3.図2は、図1で、点Gが点Oと同じ位置となるように、4点A、B、C、Eをとったものである。円Oの半径が4cmであるとき、四角形BHFGの面積を求めなさい。
図1
図2
![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2020/02/1yohaku.png)
答え
1.![Rendered by QuickLaTeX.com 95^{\circ}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ddbd346c80a761f4e33be8e3db7efe86_l3.png)
2.△AHBと△FGEで、
仮定より![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2020/12/koab4.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com =](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-168cbc7066049ab4eed81c42c40faad5_l3.png)
であるから
・・・①
CD//ABより錯角は等しいので、
・・・②
①、②より
・・・③
対頂角は等しいので、
・・・④
CD//ABより錯角は等しいので
・・・⑤
④、⑤より
・・・⑥
③、⑥より2組の角がそれぞれ等しいので
△AHB∽△FGEである。
別:
・・・⑥
はCD//ABより同位角が等しいからという理由でも可。
3.四角形BHFG=△BGD-△FDHで求める。
△BGDは頂角120
の二等辺三角形で等しい辺は半径4㎝であるから、頂角の二等分線を引きBDとの交点をPとすると、高さはGP=2m、底辺はPB
cmなので、
△BGD
cm![Rendered by QuickLaTeX.com ^2](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f5665a381aebd5b9ce97a73c9f8da8cd_l3.png)
△FDHはFG
2cmより、FD
2cmとなるので、
よりHF
cm(1:2:
)。したがって、△FDH
cm![Rendered by QuickLaTeX.com ^2](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f5665a381aebd5b9ce97a73c9f8da8cd_l3.png)
よって、四角形BHFG
cm![Rendered by QuickLaTeX.com ^2](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f5665a381aebd5b9ce97a73c9f8da8cd_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 95^{\circ}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ddbd346c80a761f4e33be8e3db7efe86_l3.png)
2.△AHBと△FGEで、
仮定より
![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2020/12/koab4.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com =](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-168cbc7066049ab4eed81c42c40faad5_l3.png)
![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2020/12/kobc4.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{FEG}}=\angle{\text{HDF}}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-27f089c4ff6d5f888549179f9b670f16_l3.png)
CD//ABより錯角は等しいので、
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{ABH}}=\angle{\text{HDF}}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d352c4952988ce37ef8cd676cea79940_l3.png)
①、②より
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{ABH}}=\angle{\text{FEG}}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-434a0f8941b83c15475bd8e152dd1379_l3.png)
対頂角は等しいので、
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{EFG}}=\angle{\text{HFD}}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ca4c74cde5398f167e68068994c2b85e_l3.png)
CD//ABより錯角は等しいので
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{BAH}}=\angle{\text{HFD}}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1817fa31f00428ff66e714dadd9103b6_l3.png)
④、⑤より
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{BAH}}=\angle{\text{EFG}}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-169f78486043ebd49ba68fb88fba39e6_l3.png)
③、⑥より2組の角がそれぞれ等しいので
△AHB∽△FGEである。
別:
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{BAH}}=\angle{\text{EFG}}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-169f78486043ebd49ba68fb88fba39e6_l3.png)
はCD//ABより同位角が等しいからという理由でも可。
3.四角形BHFG=△BGD-△FDHで求める。
△BGDは頂角120
![Rendered by QuickLaTeX.com ^{\circ}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-24b5359298fa467a4b68ffc5605538fe_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \times2=2\sqrt{3}\times2=4\sqrt{3}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-53374ed46b7c3570c326440c0931cafe_l3.png)
△BGD
![Rendered by QuickLaTeX.com =4\sqrt{3}\times2\times\dfrac{1}{2}=4\sqrt{3}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-715c4b79b0be0e71bb0f2f2f08292b2e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com ^2](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f5665a381aebd5b9ce97a73c9f8da8cd_l3.png)
△FDHはFG
![Rendered by QuickLaTeX.com =](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-168cbc7066049ab4eed81c42c40faad5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com =](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-168cbc7066049ab4eed81c42c40faad5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \angle{\text{HFD}}=90^{\circ}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2b17e439bbd4080994b78e8338f6d643_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com =\dfrac{2\sqrt{3}}{3}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-057082e3fd5b373dbf2c816ea785dc18_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \sqrt{3}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6ad456fb5411d3588e53b4817bea43dc_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com =2\times\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2a94a44c61304a3404ef6c60d7356397_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com ^2](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f5665a381aebd5b9ce97a73c9f8da8cd_l3.png)
よって、四角形BHFG
![Rendered by QuickLaTeX.com =4\sqrt{3}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}=\dfrac{10\sqrt{3}}{3}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9161339a59a54156334e1bf2d286a2e9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com ^2](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f5665a381aebd5b9ce97a73c9f8da8cd_l3.png)