TikZ:2019年度・山形県:平面図形

こんにちは。相城です。今回は極座標を用いて作成しました。交点のプログラムの挙動が今一つ、つかめていません。点の記号を打つ位置が思い通りにならないことがあります。それでは問題です。

図1のように、点Oを中心とする円の周上に、3点A、B、Cがあり、\arc{\text{AB}}=\arc{\text{BC}}である。また、\angle{\text{ABC}}の大きさは90^{\circ}より大きいものとする。点Cを通り線分ABに平行な直線と円Oとの交点のうち点Cとは異なる点をDとし、線分CDについて点Aと反対側の円周上に点Eをとる。線分CDと線分AE、BEとの交点をそれぞれF、Gとし、線分AEと線分BDとの交点をHとする。このとき、次の問いに答えなさい。
1.\angle{\text{FDH}}=40^{\circ}\angle{\text{CFE}}=55^{\circ}であるとき、\angle{\text{BHE}}の大きさを求めなさい。
2.△AHB∽△FGEであることを証明しなさい。
3.図2は、図1で、点Gが点Oと同じ位置となるように、4点A、B、C、Eをとったものである。円Oの半径が4cmであるとき、四角形BHFGの面積を求めなさい。

図1

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図2

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答え
1.95^{\circ}
2.△AHBと△FGEで、
仮定より=であるから
\angle{\text{FEG}}=\angle{\text{HDF}}・・・①
CD//ABより錯角は等しいので、
\angle{\text{ABH}}=\angle{\text{HDF}}・・・②
①、②より
\angle{\text{ABH}}=\angle{\text{FEG}}・・・③
対頂角は等しいので、
\angle{\text{EFG}}=\angle{\text{HFD}}・・・④
CD//ABより錯角は等しいので
\angle{\text{BAH}}=\angle{\text{HFD}}・・・⑤
④、⑤より
\angle{\text{BAH}}=\angle{\text{EFG}}・・・⑥
③、⑥より2組の角がそれぞれ等しいので
△AHB∽△FGEである。
別:\angle{\text{BAH}}=\angle{\text{EFG}}・・・⑥
はCD//ABより同位角が等しいからという理由でも可。
3.四角形BHFG=△BGD-△FDHで求める。
△BGDは頂角120^{\circ}の二等辺三角形で等しい辺は半径4㎝であるから、頂角の二等分線を引きBDとの交点をPとすると、高さはGP=2m、底辺はPB\times2=2\sqrt{3}\times2=4\sqrt{3}cmなので、
△BGD=4\sqrt{3}\times2\times\dfrac{1}{2}=4\sqrt{3}cm^2
△FDHはFG=2cmより、FD=2cmとなるので、\angle{\text{HFD}}=90^{\circ}よりHF=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}cm(1:2:\sqrt{3})。したがって、△FDH=2\times\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}cm^2
よって、四角形BHFG=4\sqrt{3}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}=\dfrac{10\sqrt{3}}{3}cm^2

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