TikZ：2019年度・山形県：平面図形

こんにちは。相城です。今回は極座標を用いて作成しました。交点のプログラムの挙動が今一つ、つかめていません。点の記号を打つ位置が思い通りにならないことがあります。それでは問題です。

図1のように、点Oを中心とする円の周上に、3点A、B、Cがあり、 $\arc{\text{AB}}=\arc{\text{BC}}$ である。また、 $\angle{\text{ABC}}$ の大きさは90 $^{\circ}$ より大きいものとする。点Cを通り線分ABに平行な直線と円Oとの交点のうち点Cとは異なる点をDとし、線分CDについて点Aと反対側の円周上に点Eをとる。線分CDと線分AE、BEとの交点をそれぞれF、Gとし、線分AEと線分BDとの交点をHとする。このとき、次の問いに答えなさい。
1. $\angle{\text{FDH}}=40^{\circ}$ 、 $\angle{\text{CFE}}=55^{\circ}$ であるとき、 $\angle{\text{BHE}}$ の大きさを求めなさい。
2.△AHB∽△FGEであることを証明しなさい。
3.図2は、図1で、点Gが点Oと同じ位置となるように、4点A、B、C、Eをとったものである。円Oの半径が4cmであるとき、四角形BHFGの面積を求めなさい。

図1

図2

答え

1. $95^{\circ}$
2.△AHBと△FGEで、
仮定より

$=$

であるから
$\angle{\text{FEG}}=\angle{\text{HDF}}$ ・・・①
CD//ABより錯角は等しいので、
$\angle{\text{ABH}}=\angle{\text{HDF}}$ ・・・②
①、②より
$\angle{\text{ABH}}=\angle{\text{FEG}}$ ・・・③
対頂角は等しいので、
$\angle{\text{EFG}}=\angle{\text{HFD}}$ ・・・④
CD//ABより錯角は等しいので
$\angle{\text{BAH}}=\angle{\text{HFD}}$ ・・・⑤
④、⑤より
$\angle{\text{BAH}}=\angle{\text{EFG}}$ ・・・⑥
③、⑥より2組の角がそれぞれ等しいので
△AHB∽△FGEである。
別： $\angle{\text{BAH}}=\angle{\text{EFG}}$ ・・・⑥
はCD//ABより同位角が等しいからという理由でも可。
3.四角形BHFG＝△BGD－△FDHで求める。
△BGDは頂角120 $^{\circ}$ の二等辺三角形で等しい辺は半径4㎝であるから、頂角の二等分線を引きBDとの交点をPとすると、高さはGP=2m、底辺はPB $\times2=2\sqrt{3}\times2=4\sqrt{3}$ cmなので、
△BGD $=4\sqrt{3}\times2\times\dfrac{1}{2}=4\sqrt{3}$ cm $^2$
△FDHはFG $=$ 2cmより、FD $=$ 2cmとなるので、 $\angle{\text{HFD}}=90^{\circ}$ よりHF $=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ cm(1:2: $\sqrt{3}$ )。したがって、△FDH $=2\times\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ cm $^2$
よって、四角形BHFG $=4\sqrt{3}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}=\dfrac{10\sqrt{3}}{3}$ cm $^2$

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