TikZ：2019年度・福島県：平面図形

こんにちは。相城です。さて、今回はTikZの練習に福島県の角度の問題をチョイス。図1は普通の $xy$ 平面の座標をつかって作図しました。図2は極座標を用いたのですが、~~接点が微妙にずれてる気がするんですけどね？~~←実は計算間違いでした。また、点Dを通る円を描いても何か交点がおかしなところに来ちゃって・・・今一つ挙動がおかしい？(多分私の力量不足)です。では問題です。

下の図1のように、円周上の3点A、B、Cを頂点とする△ABCがありAを通る直線 $\ell$ と辺BCは平行である。ただし、AB $>$ BCである。また、 $\angle{\text{ACB}}$ の二等分線と辺AB、 $\ell$ との交点をそれぞれD、Eとし、線分CE上にCD $=$ EFとなる点FをとりAと結ぶ。
このとき、次の(1)、(2)の問いに答えなさい。
(1)　 $\angle{\text{AFD}}=\angle{\text{ADF}}$ となることを証明しなさい。
(2)　2点B、Cの位置によって、点Fの位置が変わる。下の図2のように、Fが円周上にあるとき、 $\angle{\text{ABC}}$ の大きさを求めなさい。

図1

図2

答え

(1)
△ACDと△AEFで、
仮定より
CD=EF・・・①
CEは∠ACBの二等分線でAE//BCなので
錯角が等しいので
∠ACD＝∠AEF・・・②
であるから△ACEは二等辺三角形なので
AC＝AE・・・③
①、②、③より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ACD≡△AEF
よってAD＝AFであるから△ADFも二等辺三角形なので、
∠AFD＝∠ADF
(2)
△ABCは二等辺三角形(接点Aを通る直径は弦BCを垂直に二等分する)
∠ACD＝∠BCD＝ $x$ とおくと円周角の定理などから
△ABCの内角は $5x$ となる。
$5x=180^{\circ}$ なので
$x=36^{\circ}$
∠ABC $=2x$ なので
∠ABC $=72^{\circ}$

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