TikZ:2019年度・福島県:平面図形

こんにちは。相城です。さて、今回はTikZの練習に福島県の角度の問題をチョイス。図1は普通のxy平面の座標をつかって作図しました。図2は極座標を用いたのですが、接点が微妙にずれてる気がするんですけどね?←実は計算間違いでした。また、点Dを通る円を描いても何か交点がおかしなところに来ちゃって・・・今一つ挙動がおかしい?(多分私の力量不足)です。では問題です。

下の図1のように、円周上の3点A、B、Cを頂点とする△ABCがありAを通る直線\ellと辺BCは平行である。ただし、AB>BCである。また、\angle{\text{ACB}}の二等分線と辺AB、\ellとの交点をそれぞれD、Eとし、線分CE上にCD=EFとなる点FをとりAと結ぶ。
このとき、次の(1)、(2)の問いに答えなさい。
(1) \angle{\text{AFD}}=\angle{\text{ADF}}となることを証明しなさい。
(2) 2点B、Cの位置によって、点Fの位置が変わる。下の図2のように、Fが円周上にあるとき、\angle{\text{ABC}}の大きさを求めなさい。

図1

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図2

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答え
(1)
△ACDと△AEFで、
仮定より
CD=EF・・・①
CEは∠ACBの二等分線でAE//BCなので
錯角が等しいので
∠ACD=∠AEF・・・②
であるから△ACEは二等辺三角形なので
AC=AE・・・③
①、②、③より2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ACD≡△AEF
よってAD=AFであるから△ADFも二等辺三角形なので、
∠AFD=∠ADF
(2)
△ABCは二等辺三角形(接点Aを通る直径は弦BCを垂直に二等分する)
∠ACD=∠BCD=xとおくと円周角の定理などから
△ABCの内角は5xとなる。
5x=180^{\circ}なので
x=36^{\circ}
∠ABC=2xなので
∠ABC=72^{\circ}

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