TikZ：2019年度・山口県：平面図形

今回は2019年度山口県の平面図形の問題です。

山口県

右の図のような、おうぎ形ABCがあり、 $\arc{\text{BC}}$ 上に点Dをとり、 $\arc{\text{DC}}$ 上に点Eを、 $\arc{\text{DE}}=\arc{\text{EC}}$ となるようにとる。また、線分AEと線分BCの交点をF、線分AEの延長と線分BDの延長の交点をGとする。
次の(1)、(2)に答えなさい。
(1)　△GAD∽△GBFであることを証明しなさい。
(2)　おうぎ形ABCの半径が8cm、線分EGの長さが2cmであるとき、線分AFの長さを求めなさい。

答え

(1)
△GADと△GBFで
$\arc{\text{DE}}$ に対する円周角は等しいので、
$\angle{\text{GAD}}=\angle{\text{GBF}}$ ・・・①
共通な角なので
$\angle{\text{AGD}}=\angle{\text{BGF}}$ ・・・②
①、②より2組の角がそれぞれ等しいので
△GAD∽△GBF
(2)
△ABCは二等辺三角形なので
$\angle{\text{ACB}}=\angle{\text{ABC}}$ ・・・①
また△ABDも二等辺三角形なので
$\angle{\text{ABD}}=\angle{\text{ADB}}$
ここで
$\angle{\text{ABD}}=\angle{\text{ABC}}+\angle{\text{GBF}}=\angle{\text{ADB}}=\angle{\text{AGD}}+\angle{\text{GAD}}$ であり、
$\angle{\text{GAD}}=\angle{\text{GBF}}$ であるから
$\angle{\text{ABC}}=\angle{\text{AGD}}=\angle{\text{ACF}}$
また $\angle{\text{CAF}}=\angle{\text{GAD}}$ から
2組の角がそれぞれ等しいので
△GAD∽△CAF
よって
CA：AG $=$ AF：AD
8 : 10 $= x$ : 8
$x=6.4$
6.4cm

山口県

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