TikZ:2019年度・山口県:平面図形

今回は2019年度山口県の平面図形の問題です。

右の図のような、おうぎ形ABCがあり、\arc{\text{BC}}上に点Dをとり、\arc{\text{DC}}上に点Eを、\arc{\text{DE}}=\arc{\text{EC}}となるようにとる。また、線分AEと線分BCの交点をF、線分AEの延長と線分BDの延長の交点をGとする。
次の(1)、(2)に答えなさい。
(1) △GAD∽△GBFであることを証明しなさい。
(2) おうぎ形ABCの半径が8cm、線分EGの長さが2cmであるとき、線分AFの長さを求めなさい。

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答え
(1)
△GADと△GBFで
\arc{\text{DE}}に対する円周角は等しいので、
\angle{\text{GAD}}=\angle{\text{GBF}}・・・①
共通な角なので
\angle{\text{AGD}}=\angle{\text{BGF}}・・・②
①、②より2組の角がそれぞれ等しいので
△GAD∽△GBF
(2)
△ABCは二等辺三角形なので
\angle{\text{ACB}}=\angle{\text{ABC}}・・・①
また△ABDも二等辺三角形なので
\angle{\text{ABD}}=\angle{\text{ADB}}
ここで
\angle{\text{ABD}}=\angle{\text{ABC}}+\angle{\text{GBF}}=\angle{\text{ADB}}=\angle{\text{AGD}}+\angle{\text{GAD}}であり、
\angle{\text{GAD}}=\angle{\text{GBF}}であるから
\angle{\text{ABC}}=\angle{\text{AGD}}=\angle{\text{ACF}}
また\angle{\text{CAF}}=\angle{\text{GAD}}から
2組の角がそれぞれ等しいので
△GAD∽△CAF
よって
CA:AG=AF:AD
8 : 10= x : 8
x=6.4
6.4cm

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