TikZ：令和元年度・徳島県中2基礎学力テスト：平面図形

こんにちは。相城です。2020年2月に徳島県で行われた中2の基礎学力テストの問題から平面図形の問題をお届けします。それではどうぞ。

下の図は、長方形ABCDを対角線BDを折り目として折り返したものである。ADとBEの交点を点Pとするとき、次の(1)～(3)に答えなさい。
(1) $\angle{\text{ABP}}=40^{\circ}$ のとき、 $\angle{\text{PDB}}$ の大きさを求めなさい。
(2) △ABP $\equiv$ △EDPであることを証明しなさい。
(3) AP $=$ 6cm、PB $=$ 10cmのとき、△APBの面積は長方形ABCDの面積の何倍になるか求めなさい。

答え

(1) 25 $^{\circ}$
$\angle{\text{ABP}}=40^{\circ}$ より、 $\angle{\text{EBC}}=50^{\circ}$ 。
△EBD≡△CBDより、 $\angle{\text{EBD}}=\angle{\text{CBD}}=50^{\circ}\div2=25^{\circ}$ 。AD//BCより錯角は等しいので、 $\angle{\text{PDB}}=\angle{\text{CBD}}=25^{\circ}$
(2)
△ABPと△EDPで
仮定より、
AB $=$ ED・・・①
$\angle{\text{PAB}}=\angle{\text{PED}}=90^{\circ}$ ・・・②
対頂角は等しいので、
$\angle{\text{APB}}=\angle{\text{EPD}}$ ・・・③
②、③と三角形の内角の関係により
$\angle{\text{ABP}}=\angle{\text{EDP}}$ ・・・④
①、②、④より、
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABP $\equiv$ △EDP
※△PBDが二等辺三角形であることを示し、PB $=$ PDを示し、直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいでも可。
(3) $\dfrac{3}{16}$ 倍
△APBは△ABDの $\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{6}{16}\right)$ 倍である。また、△ABDは長方形ABCDの $\dfrac{1}{2}$ 倍であるから、長方形の面積を $S$ とすると、
△APB $=S\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{8}=\dfrac{3}{16}S$
よって $\dfrac{3}{16}$ 倍
【アドバンスド】三角形を上底が0の台形とし、長方形を上底と下底が等しい台形とみると、△APBと長方形ABCDは高さが等しいので面積比は(上底＋下底)の比になる。
よって、△APB : 長方形ABCD $=$ (0 $+$ 6) : (16 $+$ 16) $=$ 3 : 16
したがって $3\div16=\dfrac{3}{16}$ 倍

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