こんにちは。相城です。2020年の2月28日に埼玉県で行われた高校入試問題より。それではどうぞ。
図1において、曲線はのグラフで。直線
は点A(
)、点B(
)で曲線と交わっています。
このとき、次の各問いに答えなさい。
(1) 直線の式を求めなさい。
(2) 下の図2において、曲線上を点Aから点Bまで動く点Pをとり、点Pから軸と平行な直線をひき、直線
との交点をQとします。また、点P、Qから
軸へ垂線をひき、
軸との交点をそれぞれR、Sとします。
このとき、次の①、②に答えなさい。
① 長方形PRSQが正方形になる点Pの座標を、途中の説明も書いてすべて求めなさい。その際。「点Pの座標を
とおくと、」に続けて説明しなさい。
② △BPQと△OPQの面積比が1 : 3となる点Qの座標を、すべて求めなさい。
![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2020/02/1yohaku.png)
答え
(1) 2点(
)、(
)を通る直線の式は
![Rendered by QuickLaTeX.com y=-x+12](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dcf578b038073f2673d85c4e854cf986_l3.png)
(2)
点Pの
座標を
とおくと、P![Rendered by QuickLaTeX.com \left( t, \dfrac{1}{2}t^2\right)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-acbf6a7c64cac46466465ef9bbce8ef2_l3.png)
Qの
座標はPの
座標と同じなので、
で
とおくと、
となり、
について解くと、
となる。よってQの座標はQ
。
長方形PRSQが正方形になるということは、縦と横の長さが等しくなる。
PR
、PQ![Rendered by QuickLaTeX.com =12-\dfrac{1}{2}x^2-t](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3a2bc9f9c98f82158ffc991601d2ba98_l3.png)
PR
PQとして方程式をつくって解くと、
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{1}{2}t^2=12-\dfrac{1}{2}t^2-t](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7cfa7e239e3564b74455696b25df7897_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com t^2+t-12=0](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f97f5edd2f86afa6461579d52ec2c5e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com (t+4)(t-3)=0](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cf64a15f545b2fc80e52fbe7e18fb87e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com t=4, -3](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-81583a109fd46254eb39880e1bf21939_l3.png)
よってP
より、
(
)、![Rendered by QuickLaTeX.com \left(3, \dfrac{9}{2}\right)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-520adb4aa7f658367bdf2f8fdc0344a7_l3.png)
(3)
△BPQと△OPQではPQが共通なので、これを底辺と考えると、面積の比は高さの比と同じになる(高さの比に比例する)。
Qの位置で2通りに場合分けする。点Pの
座標を
とし、①で用いた
で表した座標をそのまま用いるとする。
まず、下図のQがBより下にある場合。
![Rendered by QuickLaTeX.com -6, 18](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-93e980c80dc7b9266ccaabdb724f8000_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 4, 8](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-56955b6b9e79497b88e1f0fce8dc0896_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com y=-x+12](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dcf578b038073f2673d85c4e854cf986_l3.png)
(2)
点Pの
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f16b0dcec027c9742e11d99170299a8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com t](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b406bbb54258d4eecd44d6c4f4f19e0f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left( t, \dfrac{1}{2}t^2\right)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-acbf6a7c64cac46466465ef9bbce8ef2_l3.png)
Qの
![Rendered by QuickLaTeX.com y](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5d76ceac31cb52dd9eb4431a14c502dc_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com y](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5d76ceac31cb52dd9eb4431a14c502dc_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com y=-x+12](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dcf578b038073f2673d85c4e854cf986_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com y=\dfrac{1}{2}t^2](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4b575ca86207b4f117ad406d6a4607ef_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{1}{2}t^2=-x+12](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c157f36e7d939bf45f36999bffd7be99_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f16b0dcec027c9742e11d99170299a8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x=12-\dfrac{1}{2}t^2](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-804738db976fbef74d14dbb86b133886_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(12-\dfrac{1}{2}t^2, \dfrac{1}{2}t^2\right)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e050fd1b01e72af0995d7d6f4d4d57e0_l3.png)
長方形PRSQが正方形になるということは、縦と横の長さが等しくなる。
PR
![Rendered by QuickLaTeX.com =\dfrac{1}{2}t^2](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e8287f4c90aabc34264be3904248230f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com =12-\dfrac{1}{2}x^2-t](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3a2bc9f9c98f82158ffc991601d2ba98_l3.png)
PR
![Rendered by QuickLaTeX.com =](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-168cbc7066049ab4eed81c42c40faad5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{1}{2}t^2=12-\dfrac{1}{2}t^2-t](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7cfa7e239e3564b74455696b25df7897_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com t^2+t-12=0](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f97f5edd2f86afa6461579d52ec2c5e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com (t+4)(t-3)=0](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cf64a15f545b2fc80e52fbe7e18fb87e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com t=4, -3](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-81583a109fd46254eb39880e1bf21939_l3.png)
よってP
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(t, \dfrac{1}{2}t^2\right)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd194057ee17dc55025866fa1f08421a_l3.png)
(
![Rendered by QuickLaTeX.com -4, 8](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6eb6ccbcfbe3ff10386d274d1ef5d983_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(3, \dfrac{9}{2}\right)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-520adb4aa7f658367bdf2f8fdc0344a7_l3.png)
(3)
△BPQと△OPQではPQが共通なので、これを底辺と考えると、面積の比は高さの比と同じになる(高さの比に比例する)。
Qの位置で2通りに場合分けする。点Pの
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f16b0dcec027c9742e11d99170299a8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com t](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b406bbb54258d4eecd44d6c4f4f19e0f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com t](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b406bbb54258d4eecd44d6c4f4f19e0f_l3.png)
まず、下図のQがBより下にある場合。
△BPQの高さは、△OPQの高さは
これが1 : 3なので、
このとき、Q(6, 6)。
次は下図のとき、QがBより上にある場合。
△BPQの高さは、△OPQの高さは
これが1 : 3なので、
このとき、Q(0, 12)。
以上より求めるQの座標は、(6, 6)、(0, 12)