TikZ：2020年度・埼玉県：放物線と面積

こんにちは。相城です。2020年の2月28日に埼玉県で行われた高校入試問題より。それではどうぞ。

埼玉県の問題

図1において、曲線は $y=\dfrac{1}{2}x^2$ のグラフで。直線 $\ell$ は点A( $-6, 18$ )、点B( $4, 8$ )で曲線と交わっています。
このとき、次の各問いに答えなさい。
(1)　直線 $\ell$ の式を求めなさい。
(2)　下の図2において、曲線上を点Aから点Bまで動く点Pをとり、点Pから $x$ 軸と平行な直線をひき、直線 $\ell$ との交点をQとします。また、点P、Qから $x$ 軸へ垂線をひき、 $x$ 軸との交点をそれぞれR、Sとします。
このとき、次の①、②に答えなさい。
①　長方形PRSQが正方形になる点Pの座標を、途中の説明も書いてすべて求めなさい。その際。「点Pの $x$ 座標を $t$ とおくと、」に続けて説明しなさい。
②　△BPQと△OPQの面積比が1 : 3となる点Qの座標を、すべて求めなさい。

答え

(1) 2点( $-6, 18$ )、( $4, 8$ )を通る直線の式は
$y=-x+12$
(2)
点Pの $x$ 座標を $t$ とおくと、P $\left( t, \dfrac{1}{2}t^2\right)$
Qの $y$ 座標はPの $y$ 座標と同じなので、 $y=-x+12$ で $y=\dfrac{1}{2}t^2$ とおくと、 $\dfrac{1}{2}t^2=-x+12$ となり、 $x$ について解くと、
$x=12-\dfrac{1}{2}t^2$ となる。よってQの座標はQ $\left(12-\dfrac{1}{2}t^2, \dfrac{1}{2}t^2\right)$ 。
長方形PRSQが正方形になるということは、縦と横の長さが等しくなる。
PR $=\dfrac{1}{2}t^2$ 、PQ $=12-\dfrac{1}{2}x^2-t$
PR $=$ PQとして方程式をつくって解くと、
$\dfrac{1}{2}t^2=12-\dfrac{1}{2}t^2-t$
$t^2+t-12=0$
$(t+4)(t-3)=0$
$t=4, -3$
よってP $\left(t, \dfrac{1}{2}t^2\right)$ より、
( $-4, 8$ )、 $\left(3, \dfrac{9}{2}\right)$
(3)
△BPQと△OPQではPQが共通なので、これを底辺と考えると、面積の比は高さの比と同じになる(高さの比に比例する)。
Qの位置で2通りに場合分けする。点Pの $x$ 座標を $t$ とし、①で用いた $t$ で表した座標をそのまま用いるとする。
まず、下図のQがBより下にある場合。

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△BPQの高さは $8-\dfrac{1}{2}t^2$ 、△OPQの高さは $\dfrac{1}{2}t^2$
これが1 : 3なので、
$\left(8-\dfrac{1}{2}t^2\right) : \dfrac{1}{2}t^2= 1 : 3$
$\dfrac{1}{2}t^2=24-\dfrac{3}{2}t^2$
$t^2=12$
$t=\pm2\sqrt{3}$
このとき、Q(6, 6)。
次は下図のとき、QがBより上にある場合。

Rendered by QuickLaTeX.com

△BPQの高さは $\dfrac{1}{2}t^2-8$ 、△OPQの高さは $\dfrac{1}{2}t^2$
これが1 : 3なので、
$\left(\dfrac{1}{2}t^2-8\right) : \dfrac{1}{2}t^2= 1 : 3$
$\dfrac{1}{2}t^2=\dfrac{3}{2}t^2-24$
$t^2=24$
$t=\pm2\sqrt{6}$
このとき、Q(0, 12)。
以上より求めるQの座標は、(6, 6)、(0, 12)

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埼玉県の問題

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