こんにちは。相城です。今回は球の体積の何で?にお答えできればと存じます。
球の体積の公式のなぜ?
球の中心をとし, 頂点を
とする正四角錐で球を
等分していくことを考える。
![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2020/03/kyu1.png)
このとき, を無限に近づけていくと, 四角錐の高さは球の半径
に限りなく等しくなる。また, 球の表面積は
等分される。このとき
等分された面積を
とすると,
を底面とする正四角錐の1つ分の体積は
で求められる。
これを
![Rendered by QuickLaTeX.com S_1](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-614226ec6927999c986d30e7a50305be_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com S_n](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-338f429087e97857e91d801587b10b6d_l3.png)
球の体積
![Rendered by QuickLaTeX.com V](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-46718c6c3f68a19e4f1dc8f99e938b1e_l3.png)
となる。
ここで
![Rendered by QuickLaTeX.com \textcircled{\scriptsize 2}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0caddd1d027af04be04074eaacc3ce9d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 4\pi r^2](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aa891a378b72f56518440ae44e9065a7_l3.png)
整理して
別解
からの別解
等分した正四角錐1つ分の体積
は
より,
これが
![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-00037750e74b0d7083c69a4ad2043475_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com V](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-46718c6c3f68a19e4f1dc8f99e938b1e_l3.png)
ここで
![Rendered by QuickLaTeX.com S_1=\dfrac{4\pi r^2}{n}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3d5654a703cd91a9c2dae6974355b87b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \textcircled{\scriptsize 3}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-efa2fc7c19846faf88f9f496179d3fb1_l3.png)
よって,
球の体積
![Rendered by QuickLaTeX.com V](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-46718c6c3f68a19e4f1dc8f99e938b1e_l3.png)
![](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2021/02/kyuunkeikenkyu1-160x92.png)