中学数学：球の体積の何で？

2020年3月25日2022年12月19日

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こんにちは。相城です。今回は球の体積の何で？にお答えできればと存じます。

球の体積の公式のなぜ？

球の中心を $O$ とし, 頂点を $O$ とする正四角錐で球を $n$ 等分していくことを考える。

このとき, $n$ を無限に近づけていくと, 四角錐の高さは球の半径 $r$ に限りなく等しくなる。また, 球の表面積は $n$ 等分される。このとき $n$ 等分された面積を $S_1,S_2,S_3,\cdots,S_n$ とすると, $S_1$ を底面とする正四角錐の１つ分の体積は

$\dfrac{1}{3}\times S_1 \times r=\dfrac{1}{3}S_1r\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$

で求められる。
これを $S_1$ ～ $S_n$ まで求め, 全て足したものが球の体積と等しいので,
球の体積 $V$ は次のようになる。

$\begin{align*}V&=\dfrac{1}{3}S_1r+\dfrac{1}{3}S_2r+\dfrac{1}{3}S_3r+\cdots+\dfrac{1}{3}S_nr\\&=\dfrac{1}{3}r(S_1+S_2+S_3+…+S_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 2}\end{align*}$

となる。
ここで $\textcircled{\scriptsize 2}$ のカッコの中は球の表面積 $4\pi r^2$ と等しいので, 次のように書くことができる。

$V=\dfrac{1}{3}r(S_1+S_2+S_3+\cdots+S_n)=\dfrac{1}{3}r\times 4\pi r^2$

整理して

$V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$

別解

$\textcircled{\scriptsize 1}$ からの別解
$n$ 等分した正四角錐1つ分の体積 $V_1$ は $\textcircled{\scriptsize 2}$ より,

$V_1=\dfrac{1}{3}S_1r$

これが $n$ 個集まると球の体積 $V$ なので,

$\begin{align*}V&=n\times V_1\\&=n\times \dfrac{1}{3}S_1r\cdots\textcircled{\scriptsize 3}\end{align*}$

ここで $S_1=\dfrac{4\pi r^2}{n}$ であるから, これを $\textcircled{\scriptsize 3}$ に代入すると,

$\begin{align*}V&=n\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{4\pi r^2}{n}\times r\\&=\dfrac{4}{3}\pi r^3\end{align*}$

よって,
球の体積 $V$ は

$V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$

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中学数学：球の表面積のなぜ？

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