中学数学：攻略法：平行線と面積

こんにちは。相城です。今回は平行線と面積です。攻略法を見てまいりましょう。

典型問題を見ていこう

例　右の四角形ABCDは平行四辺形で, BD $//$ EFであるとき, △ABEと等しい三角形をすべて選びなさい。

ひたすら平行線を探す

よくある問題である。この問題の攻略方法は1つの三角形に注目し, 各辺に平行な線を探して平行線があれば, そこの平行線に頂点が平行移動していないかを見ることを繰り返していけば解けることが多い。

上の例をもとに考えてみると, 先ず等しい三角形のもとは, △ABEであるから, その3辺について調べる。先ずABに平行な線はあるか考える。
AB $//$ CDでABに平行な線はあるが, その返上に頂点は平行移動していない(下図1)。次にAEに平行な線はないので, これは考えない(下図2)。
最後にBE $//$ ADであり, 頂点Aが点Dに移動しているので, △ABE $=$ △DBEとなる(下図3)。

次に△DBEで同じこと(3辺の平行線を探す。)をすると, BD $//$ EFから, △DBE $=$ △BDFがわかり, △BDFでこれまた同じことをすると, DF $//$ ABより, △BDF $=$ △AFDが出てくる。△AFDでDFに平行な線は先に調べているのでないはずだが, 調べると△BDFがあるが既に出ている。AD $//$ BCではあるが, 頂点は平行移動していない。AFに平行な線はない。これで全部調べたことになる。
よって△ABEと等しい面積の三角形は, △DBE, △BDF, △AFDということになる。以下に動画あり

ただし, 例外もある。点Eが辺BCの中点である場合などはBE $=$ ECとなり, △ABE $=$ △DECとなる。これによって調べる対象が増えはするが, 三角形の3辺と平行な線を探すという基本作業は変わりはしない。

攻略法

3辺に平行な線を探し頂点が平行移動していないか調べる。