中学数学：攻略・関数と線分の長さ(文字置き不要)

こんにちは。相城です。さて, 今回は関数と線分の長さの攻略法というか, 一つの解き方の提案をいたします。今まであった解き方かもしれませんが, この解法での解説を今まで拝見したことがなかったので, 提案としました。それではどうぞ。

例題

右の図で, 直線 $\ell$ は関数 $y=x-4$ のグラフであり, 直線 $m$ は関数 $y=\dfrac13 x+2$ のグラフである。点Aは直線 $\ell$ と $m$ との交点で, 点Bは直線 $\ell$ と $x$ 軸との交点, 点Cは直線 $m$ と $y$ 軸との交点である。線分AC上に点A, Cと異なる点Pをとり, 点Pを通り $y$ 軸に平行な直線を引き, 直線 $\ell$ との交点をQとする。 PQ $=$ 2となるときの点Pの座標を求めなさい。

一般的な解法？(文字置き)

この問題の代表的な(個人の感想です。)を示したいと思います。
求めたいPの座標を文字を使って表します。Pの $x$ 座標を $t$ と置くと, P $\left(t, \dfrac13 t+2 \right)$ となり, PQ $//$ $y$ 軸　だから, Qの $x$ 座標も $t$ なので, Qを $t$ を用いて表すと, Q( $t$ , $t-4$ )となります。
ここで,
$\text{PQ}=$ ( $\text{P}$ の $y$ 座標)－( $\text{Q}$ の $y$ 座標)
で, PQ $=$ 2であるから, 次の方程式ができます。

$\left(\dfrac13 t+2\right)-(t-4)=2$

これを解いて, $t=6$
したがって, 求めるPの座標は, P(6, 4)

図形の性質を使って解く(文字置き不要)

次はこれとは違った, 図形の性質を使って求めてみたいと思います。座標を文字で置くことはございません。以下ににそれを書きました。

【方針】四角形COQPが平行四辺形になるこを用いて解くことにします。
したがって, 点Cから下に2(PQ $=$ 2より)進んだ原点Oを通り, 直線 $m$ に平行な直線 $\left(y=\dfrac13 x \right)$ と $\ell$ の交点がQになり, Qの $x$ 座標とPの $x$ 座標が等しいことからPの座標を求めるという解法でやってみます。