中学数学:公式・三角錐の体積比

こんにちは。相城です。今回は三角錐を2つに分けたときの頂点を含む部分と,もとの三角錐との体積比の公式の紹介と証明を行ってみたいと思います。

三角錐に関する公式

下の図の三角錐で, 三角錐A-DPEと三角錐A-BQCの体積比はabe : cdfになる。

証明

証明


△ABCを底面として三角錐を考えると, 公式より底面の面積比はab : cdである。 ここでその底面に対する高さは, 上の図から, △AH_1P∽△AH_2Qを使って,

    \[\text{PH}_1:\text{QH}_2=e:f\]


よって,
三角錐A-DPEと三角錐A-BQCの体積比は, abe : cdfとなる。

証明の詳細

△ABCを底面とし, △ABCの面積をSとすると, △ADEの面積は\dfrac{ab}{cd}Sである。それぞれの底面に対する三角錐の高さのは, 図よりPH_1,QH_2であるから,
三角錐A-DPE=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{ab}{cd}S \times \text{PH}_1
三角錐A-BQC=\dfrac{1}{3}\times S \times \text{QH}_2
である。
三角錐A-DPE : 三角錐A-BQC=
\dfrac{1}{3}\times \dfrac{ab}{cd}S\times \text{PH}_1 : \dfrac{1}{3}\times S\times \text{QH}_2\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
ここでPH_1 : QH_2=e : f
よってPH_1=ke, QH_2=kf(kは0でない定数)とおけるので, これを①に代入すると,
三角錐A-DPE : 三角錐A-BQC
=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{ab}{cd}S\times ke:\dfrac{1}{3}\times S\times kf
この比にの両方にcdをかけて, \dfrac{1}{3}kSで割ると,
三角錐A-DPE : 三角錐A-BQC=abe : cdf
となる。

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