emath：中学数学：攻略法：平行四辺形と面積②

こんにちは。平行四辺形と面積②です。それではどうぞ。

面積比の問題で, 1つの攻略方法として, 相似比の2乗から攻める方法を紹介しておりますが, 相似な関係がない場合は, 役に立ちません。
そこで, 相似な関係がなくてもできる攻略方法を提示できればと思います。ただ, 全てにおいて攻略できるかは不明ですので, その点ご了承ください。

基本の予備知識

さて, 今回攻略法に使う, 予備知識は次の基本パターンになります。

1つの三角形の頂点を通る直線で, 2つの三角形に分けたとき, 2つの三角形の底辺の長さが, $a$ , $b$ であるなら, 2つの三角形の面積比はであるというものです。これを基本パターンとします。
この関係を用いて, 攻略していくことにします。

例題①

さて, 次の問題は, 相似比の2乗を用いて攻略するのに用いた問題です。

右の図で, 右の図で四角形ABCDは平行四辺形で, Pは辺ADを2 : 1に分ける点である。線分PBと線分ACの交点をQとするとき, 次の問いに答えなさい。
(1) 四角形PQCDの面積と平行四辺形ABCDの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
ここでは, △APQ∽△CBQであり, AQ : CQ $=$ 2 : 3, PQ : BQ $=$ 2 : 3であることは, 周知の事実としてまいります。

AQ : CQ $=$ 2 : 3であることから, 上の面積比の関係から, △ABQと△CBQの面積比は, 基本パターンより, △ABQ : △CBQ $=$ ② : ③。

このとき, PQ : BQ $=$ 2 : 3と, △ABQ $=$ ②を用いて, △APQの面積の割合をもとめると, 基本パターンより,
2 : 3 $=$ △APQ : ②
△APQ $=$ となります。

ここで, 平行四辺形ABCDの半分の面積は△ABCが⑤, ( ② $+$ ③ )であることから, △ADCも⑤, △APQ $=$ より,
四角形PQCD $=$ ⑤ $-$ $=$
よって, 求める面積比は,
: ⑤ $\times$ 2
となり, 整数比にするため, 3倍して,
11 : 30
となります。

これで, この方法でもきちんと解くことができることがわかります。

これのメリットは, 相似系がなくても対応できるところです。
デメリット？は分数がよく出てくるところでしょうか。。。？

例題②

次には, 相似系のないものを解いてみます。

右の△ABCで, 辺BCを3 : 5に分ける点をP, APを2 : 1に分ける点をQとします。
このとき, 次の面積比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
(1) △QBP : △QCP
(2) △AQB : △AQC
(3) △QBP : △ABC
このような問題では, 見た目でもいいので, 一番小さい三角形を基準に考えていけばいいことが多い。
本質が見えてくると, 一番小さい三角形を①とすれば事足りてきます。

ここでは, そういうやり方でなくとも, 一番最初の基本パターンから攻めることで, 解けることを実証したいと思います。

ただし, 一番小さい三角形に注目することに変わりはありません。ここでは△QBPが一番小さく, △QBPと△QCPの面積比が, 基本パターンより③ : ⑤( 3 : 5 )と分かります。

次に△AQBと△QBPの面積比が, 基本パターンより, 2 : 1であり, △QBP $=$ ③であるから,
△AQB : ③ = 2 : 1
△AQB $=$ ⑥
同様に,
△AQC : ⑤ $=$ 2 : 1
△AQC $=$ ⑩
となります。

これで, △ABCの中にある三角形の面積の割合がすべてわかりました。

(1)の答えは
3 : 5・・・(答)
(2)の答えは
6 : 10 $=$ 3 : 5・・・(答)
(3)の答えは, △ABC $=3+5+6+10=24$ となるので,
3 : 24 $=$ 1 : 8・・・(答)