中学数学：研究：平方根の値について

こんにちは。平方根の値について疑問に思うことです。それではどうぞ。

平方根の値について

よくある問題で, $\sqrt{2}=$ 1.414のとき, $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ の値を求めなさい。というのがある。効率的な解法として, $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ の分母を有理化する方法がある。
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1.414}{2}=0.707$
これが一般的な解法である。では, この手の失敗?を書くとこうなる。
分母を有理化しない場合です。直接 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ の分母を1.414で置くとどうなるか, 実験してみます(‘∀’)二パ。
$\dfrac{1}{1.414}=\cdots$
おぞましいので, Perlで計算してみます。

でてきたようですね。さすがemath,Perlとの連携素晴らしい。
$0.\dot{7}0721357850\dot{0}$
結果, $\dfrac{1}{1.414}=0.\dot{7}0721357850\dot{0}$
ちなみに分数表記は $\dfrac{1}{1.414}=\dfrac{500}{707}$
分数で書けば問題はないでしょう。3つのどれが正解かって?僕は全部正解だと思います。作問者の意図に反しますがね?

じゃあ, この誤差はなんなのでしょうね。求め方が違うのに方や有限小数だし, 方や循環小数になる。ってことで検証してみましょう。
結論から言うと $\sqrt{2}=$ 1.414とした時点で, 誤差が出てしまうのです。無理数とは無限小数でかつ非循環小数ですから, それを有限長で置き換えてしまって生じる誤差と考えます。
実際,
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ で左辺と右辺等しいですよね。
それを1.414で置き換えると,
$\dfrac{1}{1.414}=\dfrac{1.414}{2}$ となり, この左辺と右辺の関係から, $2=1.414\times1.414=1.999369$ が得られますが, 等式は成り立っていません。ですから, 求め方によって値が変わるのだと考えます。もし解答に0.707を要求するのであれば, 解を有限小数の形で答えなさい等の工夫が必要でしょうね?
お粗末でした。