TikZ：三平方の定理(ピタゴラスの定理)とその証明

こんにちは。三平方の定理(ピタゴラスの定理)が成り立つことを相似を用いて証明しよう。
三平方の定理(ピタゴラスの定理)は以下のような定理です。

三平方の定理(ピタゴラスの定理)

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直角三角形の斜辺を $c$ , 直角を挟む2辺を $a$ , $b$ とすると,
$c^2=a^2+b^2$
が成り立ちます。この関係を三平方の定理(ピタゴラスの定理)といいます。

三平方の定理の証明(相似編)

相似を用いてこれを証明していきましょう。
以下のように直角三角形ABCの頂点Cから辺ABに垂線を下ろし, 交点をDとします。AB $=c$ , BC $=a$ , CA $=b$ , BD $=d$ とします。

このとき, △ABC∽△CBD(2組の角がそれぞれ等しい)から, 次の辺の比が言えます。
AB : CB $=$ BC : BD
$c : a = a : d$
これより
$cd=a^2\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
また, △ABC∽△ACD(2組の角がそれぞれ等しい)から, 次の辺の比が言えます。
AB : AC $=$ AC : AD
AD $=c-d$ なので
$c : b = b : (c-d)$
これより
$c(c-d)=b^2$
$c^2-cd=b^2\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$
$\textcircled{\scriptsize 1}+\textcircled{\scriptsize 2}$ (左辺同士, 右辺同士加える)より
$c^2=a^2+b^2$
が得られる。(終わり)

三平方の定理の証明(面積編)

面積の関係を用いて証明していきましょう。
以下のように斜辺が $c$ , 直角を挟む2辺が $a$ , $b$ の合同な直角三角形を4枚用意して, 図のように並べて, 1辺が $c$ の正方形ABCDをつくりました。

このとき, 外側の正方形の1辺であるABはAB $=c$ , BR $=a$ , RA $=b$ , 中にできた正方形PQRSの1辺であるQRは, QR $=b-a$ となります。
この正方形ABCDの面積 $S$ は
1辺 $\times$ 1辺で求めると
$S=c\times c=c^2\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
また, この正方形ABCDの面積 $S$ は, 直角三角形4枚と正方形PQRSの面積の和として求めても同じことなので, この方法で正方形ABCDの面積 $S$ を求めると,
$S=\dfrac12 \times a\times b\times 4+(b-a)^2$
$=2ab+b^2-2ab+a^2$
$=a^2+b^2\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$
$\textcircled{\scriptsize 1}=\textcircled{\scriptsize 2}$ なので,
$c^2=a^2+b^2$
が成り立つ。(終わり)

三平方の定理の証明(面積比)

以下のように直角三角形ABCの頂点Cから辺ABに垂線を下ろし, 交点をDとします。AB $=c$ , BC $=a$ , CA $=b$ とします。

このとき, △CDB∽△ADC∽△ACB(2組の角がそれぞれ等しい)であるから, 次の相似比がいえます。
△CDB：△ADC：△ACBの相似比は $a : b : c$
ここで, 面積比は相似比の2乗であるから,
△CDB( $S_1$ )：△ADC( $S_2$ )∽△ACB( $S_3$ ) $= a^2 : b^2 : c^2$
がいえ, 面積の関係より,
$S_3=S_1+S_2$ なので,
$c^2=a^2+b^2$
が成り立つ。(終わり)

三平方の定理の証明(相似編)

三平方の定理の証明(面積編)

三平方の定理の証明(面積比)

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