高校数学：排反と和事象の確率

こんにちは。相城です。今回は排反と和事象の確率について書いておきます。

排反と独立

排反とはお互いに同時に起こらないことを指して言います。
例えば, 袋の中に赤, 白, 青の玉が1個ずつ入っていて, そこから玉を1個取り出すとき, 赤玉を取り出すことと, 青玉を取り出すことは同時に起こらないですよね。こういった事象を, 排反と言います。
独立とは, お互いに影響を与えないことを独立と言います。この場合だと玉を1個取り出すという試行は独立しているといいます。
つまり, 事象に使う言葉が排反で, 試行に使う言葉が独立だと認識していいでしょう。

排反事象の確率

排反事象の確率の計算

2つの事象 $A$ と事象 $B$ が互いに排反であるとき, $A\cap B=\phi$
事象 $A$ の起こる確率を $P(A)$ , 事象 $B$ が起こる確率を $P(B)$ とするとき,
事象 $A$ または, 事象 $B$ が起こる確率は,
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
で求められます。
このことは, 3つ以上の事象でも成り立ちます。

例題を見てみよう

【例題】袋Aには赤玉4個, 青玉3個, 袋Bには赤玉3個, 青玉2個がそれぞれ入っている。この袋から1個ずつ玉を取り出すとき, 同じ色の玉を取り出す確率を求めよ。
【解法】同じ色の玉を取り出すということは, 赤で同じのときと, 青で同じの2通りを考える。この2つの事象は互いに排反であるから, 求める確率 $p$ は,
$p$ ＝(2個とも赤である確率)＋(2個とも青である確率)
玉を取り出すという試行は独立であるため,
①袋Aから赤玉を取り, 袋Bからも赤玉を取り出す確率は,
$\dfrac{4}{7}\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{12}{35}$
②袋Aから青玉を取り, 袋Bからも青玉を取りだす確率は,
$\dfrac{3}{7}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{35}$
①, ②の事象は互いに排反であるので, 求める確率 $p$ は
$p=\dfrac{12}{35}+\dfrac{6}{35}=\dfrac{18}{35}$

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