高校数学:数列・3項間漸化式の基本3パターン

こんにちは。相城です。今回は3項間の漸化式について書いておきます。

3項間漸化式の解法の大まかな流れ

漸化式p a_{n+2}+q a_{n+1}+ra_n=0\ (p\neq 0)について, a_nは次のようにして求めることができる。漸化式のa_{n+2}, a_{n+1}, a_nをそれぞれ, x^2, x, 1で置き換えた特性方程式px^2+qx+r=0の解を\alpha, \betaとする。
このとき, px^2+qx+r=0(x-\alpha)(x-\beta)=0と同値なので,
x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0
x^2, x, 1をそれぞれa_{n+2}, a_{n+1}, a_nで置き換えると
a_{n+2}-(\alpha+\beta)a_{n+1}+\alpha\beta a_n=0
展開すると,
a_{n+2}-\alpha a_{n+1}-\beta a_{n+1}+\alpha\beta a_n=0
左辺にa_{n+2}-\alpha a_{n+1}を残して, 残りを右辺に移項して\betaでくくると,
a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
同様に, 左辺にa_{n+2}-\beta a_{n+1}を残して, 残りを右辺に移項して\alphaでくくると,
a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha (a_{n+1}-\beta a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 2}
この\textcircled{\scriptsize 1}, \textcircled{\scriptsize 2}を用いて一般項a_nを求めることになる。
以下に特性方程式の解\alpha, \beta\alpha\neq\beta(異なる2つの解), \alpha=\beta(重解), \alpha, \betaの一方が1になる場合について例題と解き方を書いておきます。

異なる2つの解(α≠βのとき)

【例題】次の条件によって定められる数列\{a_n\}の一般項a_nを求めなさい。
a_1=1,\ a_2=4, a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0
【解法】特性方程式x^2-5x+6=0とすると,
(x-2)(x-3)=0なので, \alpha=2, \beta=3として, 漸化式を変形すると,
a_{n+2}-2 a_{n+1}=3 (a_{n+1}-2 a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
a_{n+2}-3 a_{n+1}=2 (a_{n+1}-3 a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 2}
\textcircled{\scriptsize 1}より, 数列a_{n+1}-2a_nは初項a_2-2a_1=4-2\cdot1=2, 公比3の等比数列である。したがって,
a_{n+1}-2a_n=2\cdot3^{n-1}\cdots\textcircled{\scriptsize 3}
また, 同様に,
\textcircled{\scriptsize 2}より, 数列a_{n+1}-3a_nは初項a_2-3a_1=4-3\cdot1=1, 公比2の等比数列である。したがって,
a_{n+1}-3a_n=2^{n-1}\cdots\textcircled{\scriptsize 4}
\textcircled{\scriptsize 3}- \textcircled{\scriptsize 4}で, a_{n+1}を消去して, a_nを求めると,
a_n=2\cdot3^{n-1}-2^{n-1}\cdots(答)

特性方程式の解が異なる2解(α≠β,1は含まない)のとき
特性方程式の解\alpha, \betaを用いて
a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha (a_{n+1}-\beta a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 2}
と変形する。
変形した2つの式から, それぞれ数列を求める。
\textcircled{\scriptsize 1}から
a_{n+1}-\alpha a_nの一般項を求める。
a_{n+1}-\alpha a_n=(a_2-\alpha a_1)\beta^{n-1}\cdots\textcircled{\scriptsize 3}
\textcircled{\scriptsize 2}から
a_{n+1}-\beta a_nの一般項を求める。
a_{n+1}-\beta a_n=(a_2-\beta a_1)\alpha^{n-1}\cdots\textcircled{\scriptsize 4}
\textcircled{\scriptsize 3}, \textcircled{\scriptsize 4}を用い, 筆算でa_{n+1}を消去してa_nを求める。

重解のとき(α=βのとき)

【例題】次の条件によって定められる数列\{a_n\}の一般項a_nを求めなさい。
a_1=1,\ a_2=4, a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_n=0
【解法】特性方程式x^2+4x+4=0とすると,
(x+2)^2=0となり, \alpha=\beta=-2として, 漸化式を変形すると,
a_{n+2}+2 a_{n+1}=-2 (a_{n+1}+2 a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
\textcircled{\scriptsize 1}は, 初項a_2+2a_1=4+2\cdot1=6, 公比-2の等比数列である。したがって,
a_{n+1}+2a_n=6\cdot(-2)^{n-1}
ここで, 両辺を(-2)^{n+1}で割ると,
\dfrac{a_{n+1}}{(-2)^{n+1}}+\dfrac{2a_n}{(-2)^{n+1}}=\dfrac{6\cdot(-2)^{n-1}}{(-2)^{n+1}}
\dfrac{a_{n+1}}{(-2)^{n+1}}+\dfrac{2a_n}{-2\cdot(-2)^n}}=\dfrac{6\cdot(-2)^{n-1}}{(-2)^2\cdot(-2)^{n-1}}
\dfrac{a_{n+1}}{(-2)^{n+1}}-\dfrac{a_n}{(-2)^n}}=\dfrac{3}{2}
よって, 数列\dfrac{a_n}{(-2)^n}は, 初項\dfrac{a_1}{-2}=-\dfrac12, 公差\dfrac32の等差数列である。したがって,
\dfrac{a_n}{(-2)^n}=-\dfrac12+\dfrac32(n-1)
\dfrac{a_n}{(-2)^n}=\dfrac32 n-2
a_n=(-2)^n\left(\dfrac32 n-2\right)\cdots(答)

特性方程式が重解(α=β)のとき
特性方程式の解\alphaを用いて
a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\alpha (a_{n+1}-\alpha a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
と変形する。
変形した式から,
a_{n+1}-\alpha a_n=(a_2-\alpha a_1)\alpha^{n-1}として, 両辺を\alpha^{n+1}で割り,
以下の等差数列の形に持ち込み解く。
\dfrac{a_{n+1}}{\alpha^{n+1}}-\dfrac{a_n}{\alpha^n}=d

解に1を含むとき(αかβが1のとき)

【例題】次の条件によって定められる数列\{a_n\}の一般項a_nを求めなさい。
a_1=1,\ a_2=4, a_{n+2}+a_{n+1}-2a_n=0
【解法】特性方程式x^2+x-2=0とすると,
(x-1)(x+2)=0なので, \alpha=1, \beta=-2として, 漸化式を変形すると,
a_{n+2}+2 a_{n+1}=1 (a_{n+1}+2 a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
a_{n+2}-1 a_{n+1}=-2 (a_{n+1}-1 a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 2}
より, 1を略して書くと,
a_{n+2}+2 a_{n+1}= a_{n+1}+2 a_n\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
a_{n+2}- a_{n+1}=-2 (a_{n+1}- a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 2}
\textcircled{\scriptsize 2}より,
数列a_{n+1}-a_nは, 初項a_2-a_1=4-1=3, 公比-2の等比数列である。したがって,
a_{n+1}-a_n=3\cdot(-2)^{n-1}
これは, 2項間の階差数列が等比数列になることを表している。
したがって,
a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}3\cdot(-2)^{k-1}
a_n=1+3\cdot\dfrac{1\cdot\left\{1-(-2)^{n-1}\right\}}{1-(-2)}
a_n=2-(-2)^{n-1}

特性方程式の解α, βのどちらかが1のとき
特性方程式の解\alpha, 1を用いて
a_{n+2}- a_{n+1}=\alpha (a_{n+1}- a_n)\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
と変形する。
変形した式から,
a_{n+1}- a_n=(a_2-a_1)\alpha^{n-1}として, 2項間の階差数列が等比数列になっていることを用いて解く。
a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} (a_2-a_1)\alpha^{k-1}

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