高校数学:ベクトルの内積と余弦定理の関係

こんにちは。相城です。今回はベクトルの内積と余弦定理の関係を書いておきます。

\overrightarrow {\mathstrut a}=(a_1, a_2),\ \overrightarrow{\mathstrut b} =(b_1, b_2)とする。
△OABに余弦定理を用いると,

|\overrightarrow {\mathstrut c}|^2=|\overrightarrow {\mathstrut a}|^2+|\overrightarrow {\mathstrut b}|^2-2|\overrightarrow {\mathstrut a}||\overrightarrow {\mathstrut b}|\cos \theta

ここで,

\overrightarrow {\mathstrut c}=\overrightarrow {\mathstrut b}-\overrightarrow {\mathstrut a}より,
|\overrightarrow {\mathstrut b}-\overrightarrow {\mathstrut a}|^2&=|\overrightarrow {\mathstrut a}|^2+|\overrightarrow {\mathstrut b}|^2-2|\overrightarrow {\mathstrut a}||\overrightarrow {\mathstrut b}|\cos \theta
|\overrightarrow {\mathstrut b}|^2-2\overrightarrow {\mathstrut a}\cdot\overrightarrow {\mathstrut b}+|\overrightarrow {\mathstrut a}|^2&=|\overrightarrow {\mathstrut a}|^2+|\overrightarrow {\mathstrut b}|^2-2|\overrightarrow {\mathstrut a}||\overrightarrow {\mathstrut b}|\cos \theta
-2\overrightarrow {\mathstrut a}\cdot\overrightarrow {\mathstrut b}&=-2|\overrightarrow {\mathstrut a}||\overrightarrow {\mathstrut b}|\cos \theta
\overrightarrow {\mathstrut a}\cdot\overrightarrow {\mathstrut b}&=|\overrightarrow {\mathstrut a}||\overrightarrow {\mathstrut b}|\cos \theta
|\overrightarrow {\mathstrut a}||\overrightarrow {\mathstrut b}|\cos \theta&=\left(a_1, a_2\right)\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\end{array}\right)
&=a_1・b_1+a_2・b_2
空間ベクトルの場合は,

\overrightarrow {\mathstrut a}=(a_1, a_2, a_3), \overrightarrow {\mathstrut b}=(b_1, b_2, b_3)とすれば同じ結果が得られ,
|\overrightarrow {\mathstrut a}||\overrightarrow {\mathstrut b}|\cos \theta&=\left(a_1, a_2, a_3\right)\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array}\right)
&=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3
となる。

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