高校数学:ベクトルと内分点の公式

こんにちは。相城です。今回はベクトルと内分点のことについて書いておきます。

図Iのように, 三角形ABCがあって, 辺BCをm : nに内分する点をPとするとき,

    \[\overrightarrow{\mathstrut \text{AQ}}+\overrightarrow{\mathstrut \text{AR}}=\overrightarrow{\mathstrut \text{AP}}\]


であるなら,

    \[\overrightarrow{\mathstrut \text{AQ}}=\dfrac{n}{m+n}\overrightarrow{\mathstrut \text{AB}}\]


    \[\overrightarrow{\mathstrut \text{AR}}=\dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{\mathstrut \text{AC}}\]


である。
これは図IIにおいて, 点Pから辺ABにPQ//ACとなる線を引き, 同様に点Pから辺ACにPR//ABとなる線を引くと,
△BQP∽△BAC, △CPR∽△CBAであり, これより,
AQ : QB= n : m, AR : RC= m : nとなることから, 証明できる。

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