高校数学:ベクトルと三角形の面積

こんにちは。相城です。今回はベクトルと三角形の面積についてです。

ベクトルと三角形の面積
△OABの面積をSとするとき,
S=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow {\mathstrut b}|\sin\thetaであることはご存知でしょう。
ここでは, この式を変形して\sin\theta\cos\thetaを用いず
面積を求める公式をつくってみましょう。
S&=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow {\mathstrut a}||\overrightarrow {\mathstrut b}|\sin\theta
&=\dfrac12\sqrt{|\overrightarrow {\mathstrut a}|^2|\overrightarrow {\mathstrut b}|^2\sin^2\theta}
&=\dfrac12\sqrt{|\overrightarrow {\mathstrut a}|^2|\overrightarrow {\mathstrut b}|^2(1-\cos^2\theta)}
=\dfrac12\sqrt{|\overrightarrow {\mathstrut a}|^2|\overrightarrow {\mathstrut b}|^2-|\overrightarrow {\mathstrut a}|^2|\overrightarrow {\mathstrut b}|^2\cos^2\theta}
=\dfrac12\sqrt{|\overrightarrow {\mathstrut a}|^2|\overrightarrow {\mathstrut b}|^2-(|\overrightarrow {\mathstrut a}||\overrightarrow {\mathstrut b}|\cos\theta)^2}
&=\dfrac12\sqrt{|\overrightarrow {\mathstrut a}|^2|\overrightarrow {\mathstrut b}|^2-(\overrightarrow {\mathstrut a}\cdot\overrightarrow {\mathstrut b})^2}\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
このように, ベクトルの内積を使って表わすことが可能で, 入試ではよく使われています。

次にA(a_1, a_2), B(b_1, b_2)として, \textcircled{\scriptsize 1}に代入してみます。
|\overrightarrow {\mathstrut a}|^2=a_1^2+a_2^2
|\overrightarrow {\mathstrut b}|^2=b_1^2+b_2^2
(\overrightarrow {\mathstrut a}\cdot\overrightarrow {\mathstrut b})^2=(a_1b_1+a_2b_2)^2
であるから, \textcircled{\scriptsize 1}は,
S&=\dfrac12\sqrt{\mathstrut{|\overrightarrow {\mathstrut a}|^2|\overrightarrow {\mathstrut b}|^2-(\overrightarrow {\mathstrut a}\cdot\overrightarrow {\mathstrut b})^2}}
&=\dfrac12\sqrt{(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)-(a_1b_1+a_2b_2)^2}
&=\dfrac12\sqrt{a_1^2b_2^2-2a_1b_2a_2b_1+a_2^2b_1^2}
&=\dfrac12\sqrt{(a_1b_2-a_2b_1)^2}
&=\dfrac12|a_1b_2-a_2b_1|

このように, △OABの面積は, ベクトルの成分からでも求めることが可能であることが分かる。

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