高校数学：確率：確率の最大値問題の解き方

こんにちは。今回は確率の最大値に触れておきたいと思います。早速ですが, 例題を見ていきましょう。

例題を見てみよう

つぼの中に $N(N\geqq6)$ 個の白い玉がある。このつぼから5つの玉を取り出し赤印をつけてもとに戻す。よくかきまぜてから今度は2個の玉を取り出すとき, 赤印をつけたものが1個だけである確率 $P_N$ は【　①　】である。また, この確率を最大にする $N$ の値を求めると, 【　②　】と【　③　】である。

解法

【解法】
前置きはいいとして, つまり, 5個の赤玉と $N-5$ 個の白玉があるということになる。
すべての玉の取り出し方は, ${}_N \mathrm{C} _2$ で, 取り出すのは1個が赤玉, 1個が白玉なので, 起こりうる場合の数は, ${}_5 \mathrm{C} _1\times {}_{N-5} \mathrm{C} _1$ である。したがって, 求める確率 $P_n$ は,
$\begin{array}{lll}P_N&=&\dfrac{{}_5 \mathrm{C} _1\times {}_{N-5} \mathrm{C} _1}{{}_N \mathrm{C} _2}\\ &=&\dfrac{5(N-5)}{\dfrac{N(N-1)}{2!}}\\&=&\dfrac{10(N-5)}{N(N-1)}\end{array}$
$\dfrac{10(N-5)}{N(N-1)}\cdots\maru{1}$ の(答)
続いて, これを用いて $P_{N+1}$ を $N$ を使って表し,
$\dfrac{P_{N+1}}{P_N}$ の商を考えることにする。
$\dfrac{P_{N+1}}{P_N}>1$ なら $P_{N+1}>P_N$ ということで,
$\dfrac{P_{N+1}}{P_N}=1$ なら $P_{N+1}=P_N$ ,
$\dfrac{P_{N+1}}{P_N}<1$ なら $P_{N+1}<P_N$ ということになります。
この結果から, $P_N$ の最大値を求めることにします。
$P_{N+1}$ は $\maru{1}$ の結果において, $N$ を $N+1$ に置き換えたものだから,
$\begin{array}{lll}P_{N+1}&=&\dfrac{10\{(N+1)-5\}}{(N+1)\{(N+1)-1\}}\\&=&\dfrac{10(N-4)}{N(N+1)}\end{array}$
したがって, $\dfrac{P_{N+1}}{P_N}$ は,
$\begin{array}{lll}\dfrac{P_{N+1}}{P_N}&=&\dfrac{\dfrac{10(N-4)}{N(N+1)}}{\dfrac{10(N-5)}{N(N-1)}}\\&=&\dfrac{(N-4)(N-1)}{(N-5)(N+1)}\\&=&\dfrac{N^2-5N+4}{N^2-4N-5}\end{array}$
( i ) $\dfrac{N^2-5N+4}{N^2-4N-5}>1$ のとき,
$N^2-5N+4>N^2-4N-5$
$-N>-9$
$N<9$ (以下方程式の途中式割愛)となり, $N$ が9より小さいときは $P_{N+1}>P_N$
例えば $N=7$ なら, $P_8>P_7$ となる。
( ii ) $\dfrac{N^2-5N+4}{N^2-4N-5}=1$ のとき,
$N=9$ となり, $P_{N+1}=P_N(P_{10}=P_9)$ となる。
(iii) $\dfrac{N^2-5N+4}{N^2-4N-5}<1$ のとき,
$N>9$ となり, $N$ が9より大きいときは, $P_{N+1}<P_N$
例えば $N=11$ なら, $P_{12}<P_{11}$ となる。
( i ), ( ii ), (iii)より
$\cdots P_7<P_8<P_9=P_{10}>P_{11}>P_{12}\cdots$
よって $P_N$ が最大になる $N$ は $N=9, 10\cdots\maru{2}, \maru{3}$ の答え(順不同)

よく使うテクニック

テクニック

$P_n$ を求めるのに, 次の公式をよく用います。
${}_n \mathrm{C} _r=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
例えば,
${}_{10} \mathrm{C} _n=\dfrac{10!}{n!(10-n)!}$
となります。
$P_n$ を求めた後, $n$ を $n+1$ に置き換えて, $P_{n+1}$ を求める。
そして, $\dfrac{P_{n+1}}{P_n}$ を計算する。
$P_n$ が最大になる $n$ は以下から判断する。
$\dfrac{P_{n+1}}{P_n}<1$
$\dfrac{P_{n+1}}{P_n}=1$
$\dfrac{P_{n+1}}{P_n}>1$