高校数学：三角関数の合成は加法定理の逆

こんにちは。今回は三角関数の合成についてです。

三角関数の合成とは

こんなやつです
$A\sin\theta+B\cos\theta=\sqrt{A^2+B^2}\sin(\theta+\alpha)$
ただし, $\alpha$ は
$\cos\alpha=\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}$ , $\sin\alpha=\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}$ を満たすものとする。
ってやつです。

なぜそうなるか

まず何で $\sqrt{A^2+B^2}$ が出てくるかというと,
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$
を満たすようにするためです。
つまり, $A\sin\theta+B\cos\theta$ を次のように変形するのです。
$\sqrt{A^2+B^2}\underline{\left(\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin\theta+\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\cos\theta\right)}$
と変形します。
※ちなみに前途したように, $\left(\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)^2+\left(\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\right)^2=1$
になっています。
ここで, 下線部に $\sin$ の加法定理の逆を適用します。
加法定理の逆とは次のようなことです。
$\sin\theta\cos\alpha+\sin\alpha\cos\theta=\sin(\theta+\alpha)$
というものです。
これを下線部に当てはめると,
$\cos\alpha=\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}$ , $\sin\alpha=\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}$
と考えても差し支えないので,
したがって, 下線部は次のようになります。
$\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin\theta+\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\cos\theta=\sin(\theta+\alpha)$
このとき, $\alpha$ の満たす条件として,
$\cos\alpha=\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}$ , $\sin\alpha=\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}$ が出てきます。

以上のことから, 三角関数の合成式
$A\sin\theta+B\cos\theta=\sqrt{A^2+B^2}\sin(\theta+\alpha)$
ただし, $\alpha$ は
$\cos\alpha=\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}$ , $\sin\alpha=\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}$ を満たすものとする。
が成立します。

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