高校数学：数列：n³の和の公式と導出

こんにちは。今回は登場回数は低いもののいざというとき困るので, 覚えておきたい $n^3$ の和の公式です。

n³の和の公式

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=\left{\dfrac12 n(n+1)\right}^2$
私の覚え方：1～ $n$ までの和の2乗

公式の導出

$(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1$ として辺々の和を1～ $n$ までとります。
すなわち,
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left\{(k+1)^3-k^3\right\}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(4k^3+6k^2+4k+1)$
これを $k=1$ から見ていくと
$\begin{array}{rcl}2^4-1^4&=&4\cdot1^3+6\cdot1^2+4\cdot1+1\\3^4-2^4&=&4\cdot2^3+6\cdot2^2+4\cdot2+1\\4^4-3^4&=&4\cdot3^3+6\cdot3^2+4\cdot3+1\\&\vdots&\\n^4-(n-1)^4&=&4\cdot(n-1)^3+6\cdot(n-1)^2+4\cdot(n-1)+1\\(n+1)^4-n^4&=&4\cdot n^3+6\cdot n^2+4\cdot n+1\end{arry}$
これらをすべて加えると, 4乗の項が打ち消し合っていくことが分かります。
$\begin{array}{ccccccccccccc}&\cancel{2^4}&-&1^4&=&4\cdot1^3&+&6\cdot1^2&+&4\cdot1&+&1&\\&\cancel{3^4}&-&\cancel{2^4}&=&4\cdot2^3&+&6\cdot2^2&+&4\cdot2&+&1&\\&\cancel{4^4}&-&\cancel{3^4}&=&4\cdot3^3&+&6\cdot3^2&+&4\cdot3&+&1&\\&&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\\&\cancel{n^4}&-&\cancel{(n-1)^4}&=&4\cdot(n-1)^3&+&6\cdot(n-1)^2&+&4\cdot(n-1)&+&1&\\+)&(n+1)^4&-&\cancel{n^4}&=&4\cdot n^3&+&6\cdot n^2&+&4\cdot n&+&1&\\\hline&(n+1)^4&-&1&=&4\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3&+&6\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2&+&4\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k&+&n&\cdots\textcircled{\scriptsize 1}\\\end{array}$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac16n(n+1)(2n+1)$ , $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac12n(n+1)$ として, $\textcircled{\scriptsize 1}$ を計算していくと,
$n^4+4n^3+6n^2+4n=4\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3+n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n$
$4\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=n\left\{(n^3+4n^2+6n+4)-(n+1)(2n+1)-2(n+1)-1\right\}$
$4\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=n\left\{n^3+4n^2+6n+4-(2n^2+3n+1)-2n-2-1\right\}$
$4\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=n\left(n^3+2n^2+n\right)$
$4\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=n^2\left(n^2+2n+1\right)$
$4\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=n^2(n+1)^2$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=\dfrac14n^2(n+1)^2$
よって,
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{\dfrac12n(n+1)\right\}^2$