高校数学:数列・n^2の和の公式と導出

こんにちは。今回はn^2の数列の和の公式と導出についてです。

n^2の和の公式

n^2の和の公式
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac16n(n+1)(2n+1)
私の覚え方:連続する2数と奇数の積の\dfrac16

公式の導出

(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1として辺々の和を1~nまでとります。
すなわち,
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left\{(k+1)^3-k^3\right\}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(3k^2+3k+1)
これをk=1から見ていくと
\begin{array}{rcl}2^3-1^3&=&3\cdot1^2+3\cdot1+1\\3^3-2^3&=&3\cdot2^2+3\cdot2+1\\4^3-3^3&=&3\cdot3^2+3\cdot3+1\\&\vdots&\\n^3-(n-1)^3&=&3\cdot(n-1)^2+3\cdot(n-1)+1\\(n+1)^3-n^3&=&3\cdot n^2+3\cdot n+1\end{array}
これらをすべて加えると, 3乗の項が打ち消し合っていくことが分かります。
\begin{array}{ccccccccccc}&\cancel{2^3}&-&1^3&=&3\cdot1^2&+&3\cdot1&+&1&\\&\cancel{3^3}&-&\cancel{2^3}&=&3\cdot2^2&+&3\cdot2&+&1&\\&\cancel{4^3}&-&\cancel{3^3}&=&3\cdot3^2&+&3\cdot3&+&1&\\&&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\\&\cancel{n^3}&-&\cancel{(n-1)^3}&=&3\cdot(n-1)^2&+&3\cdot(n-1)&+&1&\\+)&(n+1)^3&-&\cancel{n^3}&=&3\cdot n^2&+&3\cdot n&+&1&\\\hline&(n+1)^3&-&1&=&3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2&+&3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k&+&n&\cdots\textcircled{\scriptsize 1}\\\end{array}
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac12n(n+1)として, \textcircled{\scriptsize 1}を計算していくと,
n^3+3n^2+3n=3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2+\dfrac32 n(n+1)+n
3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=n^3+\dfrac32 n^2+\dfrac12 n
3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac12n(2n^2+3n+1)
3\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac12n(n+1)(2n+1)
よって,
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac16n(n+1)(2n+1)

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