高校数学：数列・1～nまでの和の公式と導出

こんにちは。今回は等差数列の和のところでよく出てくる, 1～ $n$ までの整数和を求めてみたいと思います。

1からnまでの和

1～nの自然数和の公式

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac12n(n+1)$
私の覚え方：連続する2数の半分 $\left(\dfrac12\right)$

一般的な公式の導出方法

先ずは一般的な公式の導出
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=S_n$ とすると,
$S_n=1+2+3+\cdots+(n-1)+n\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
この和の順番を逆にすると,
$S_n=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+2+1\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$
$\textcircled{\scriptsize 1}+\textcircled{\scriptsize 2}$ より,
$\begin{array}{ccccccccccccccc}& S_n&=&1&+&2&+&3&+&\cdots&+&(n-1)&+&n&\\+)&S_n&=&n&+&(n-1)&+&(n-2)&+&\cdots&+&2&+&1&\\\hline&2S_n&=&(n+1)&+&(n+1)&+&(n+1)&+&\cdots&+&(n+1)&+&(n+1)&\cdots\textcircled{\scriptsize 3}\end{array}$
このときできる, $(n+1)$ は $n$ 個できるので, $\textcircled{\scriptsize 3}$ は次のようになりる。
$2S_n=n(n+1)$
よって,
$S_n=\dfrac12 n(n+1)$
すなわち,
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac12n(n+1)$

公式の導出2

誰が考えた？感心させられる公式の導出
この公式の導出方法を用いて, $n^2$ の和や $n^3$ の和の公式も導出できます。知っておくと便利です(記憶違いでなければ数検の準1級で $n^4$ の和の公式の導出が出ました)。それではいきましょう。
$(k+1)^2-k^2=2k+1$ として辺々の和を1～ $n$ までとります。
すなわち,
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left\{(k+1)^2-k^2\right\}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k+1)$
これを $k=1$ から見ていくと
$\begin{array}{rcl}2^2-1^2&=&2\cdot1+1\\3^2-2^2&=&2\cdot2+1\\4^2-3^2&=&2\cdot3+1\\&\vdots&\\n^2-(n-1)^2&=&2\cdot(n-1)+1\\(n+1)^2-n^2&=&2\cdot n+1\end{array}$
これらをすべて加えると, 2乗の項が打ち消し合っていくことが分かります。
$\begin{array}{ccccccccc}&\cancel{2^2}&-&1^2&=&2\cdot1&+&1&\\&\cancel{3^2}&-&\cancel{2^2}&=&2\cdot2&+&1&\\&\cancel{4^2}&-&\cancel{3^2}&=&2\cdot3&+&1&\\&&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\\&\cancel{n^2}&-&\cancel{(n-1)^2}&=&2\cdot(n-1)&+&1&\\+)&(n+1)^2&-&\cancel{n^2}&=&2\cdot n&+&1&\\\hline&(n+1)^2&-&1&=&2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k&+&n&\cdots\textcircled{\scriptsize 1}\\\end{array}$
$\textcircled{\scriptsize 1}$ を計算していくと,
$n^2+2n=2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k+n$
$2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=n^2+n$
よって,
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac12n(n+1)$