高校数学:等比数列の和の公式と導出

こんにちは。今回は等比数列ar^{n-1}の和の公式の導出です。

等比数列の和の公式

初項a, 公比rの等比数列の和の公式は以下になります。

等比数列の和の公式
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}ar^{k-1}=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}  (主に公比rが1より小さいときに使用)
もしくは,
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}ar^{k-1}=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}  (主に公比rが1より大きいときに使用)

公式の導出
S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}ar^{k-1}=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-2}+ar^{n-1}\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
として,
S_nの両辺に公比rをかけると,
rS_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}ar^k=ar+ar^2+ar^3+\cdots+&ar^{n-1}+ar^n\cdots\textcircled{\scriptsize 2}
\textcircled{\scriptsize 1}-\textcircled{\scriptsize 2}より,
\begin{array}{cccccccccccccc}    & S_n&=&a&+&\cancel{ar}&+&\cancel{ar^2}&+&\cdots&+&\cancel{ar^{n-1}}&    &\\-)&rS_n&=&   & &\cancel{ar}&+&\cancel{ar^2}&+&\cdots&+&\cancel{ar^{n-1}}&+&ar^n\\\hline&S_n-rS_n&=&a& & &  &   &  &   &&&-&ar^n\end{array}
したがって,
(1-r)S_n=a(1-r^n)
両辺を1-rで割って,
S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}
もう1つの公式は右辺の分母分子に-1をかけて
S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}
となる。

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