TikZ：高校数学：θ＋π/2の三角関数

こんにちは。今回は $\theta$ が $\theta+\dfrac{\pi}{2}$ になった場合の三角関数の関係について書いておきます。

θがθ＋π/2になると

この手の導き方は円を用いた解法ですので, ぜひ身に付けておいてください。今, 動径OPと $x$ 軸がなす角を $\theta$ とし, 点Pの座標を $(x, y)$ とする。この $\theta$ に $\dfrac{\pi}{2}$ を加えた角を $\theta+\dfrac{\pi}{2}$ とし, $\angle{\text{AOP}'}$ とする。このとき, $x$ 軸と $y$ 軸は直角に交わっているので, $y$ 軸と動径OP $'$ のなす角は $\theta$ になっています。このことから, 色の付いた三角形は合同なので, P $'$ の座標は $(-y, x)$ となります。

この結果を表にすると以下のようになり,

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline \vrule width 0pt height 20pt depth 15pt&\theta+\dfrac{\pi}{2}&\theta\\ \hline \sin \vrule width 0pt height 20pt depth 15pt&\dfrac{x}{r}&\dfrac{y}{r}\\ \hline \cos \vrule width 0pt height 20pt depth 15pt&-\dfrac{y}{r}&\dfrac{x}{r}\\ \hline \tan \vrule width 0pt height 20pt depth 15pt&-\dfrac{x}{y}&\dfrac{y}{x}\\ \hline \end{array}$

$\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{x}{r}$ は $\cos\theta=\dfrac{x}{r}$ と, $\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{y}{r}$ は $\sin\theta=\dfrac{y}{r}$ と, $\tan\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{x}{y}$ は $\tan\theta=\dfrac{y}{x}$ とそれぞれ対応させると, 次の関係が式ができます。
$\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\theta$
$\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\theta$
$\tan\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{1}{\tan\theta}$
このように公式を導くことができました。

θ＋π/2の三角関数

$\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\theta$
$\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\theta$
$\tan\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{1}{\tan\theta}$

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