TikZ:高校数学:θ+π/2の三角関数

こんにちは。今回は\theta\theta+\dfrac{\pi}{2}になった場合の三角関数の関係について書いておきます。

θがθ+π/2になると

この手の導き方は円を用いた解法ですので, ぜひ身に付けておいてください。今, 動径OPとx軸がなす角を\thetaとし, 点Pの座標を(x, y)とする。この\theta\dfrac{\pi}{2}を加えた角を\theta+\dfrac{\pi}{2}とし, \angle{\text{AOP}'}とする。このとき, x軸とy軸は直角に交わっているので, y軸と動径OP'のなす角は\thetaになっています。このことから, 色の付いた三角形は合同なので, P'の座標は(-y, x)となります。

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この結果を表にすると以下のようになり,


\begin{array}{|c|c|c|}\hline \vrule width 0pt height 20pt depth 15pt&\theta+\dfrac{\pi}{2}&\theta\\ \hline \sin \vrule width 0pt height 20pt depth 15pt&\dfrac{x}{r}&\dfrac{y}{r}\\ \hline \cos \vrule width 0pt height 20pt depth 15pt&-\dfrac{y}{r}&\dfrac{x}{r}\\ \hline \tan \vrule width 0pt height 20pt depth 15pt&-\dfrac{x}{y}&\dfrac{y}{x}\\ \hline \end{array}

\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{x}{r}\cos\theta=\dfrac{x}{r}と, \cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{y}{r}\sin\theta=\dfrac{y}{r}と,\tan\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{x}{y}\tan\theta=\dfrac{y}{x}とそれぞれ対応させると, 次の関係が式ができます。
\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\theta
\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\theta
\tan\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{1}{\tan\theta}
このように公式を導くことができました。

θ+π/2の三角関数
\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\theta
\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\theta
\tan\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{1}{\tan\theta}


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