TikZ：高校数学：三角関数を含む関数の最大値・最小値①

こんにちは。今回は三角関数を含む関数の最大値と最小値について書いておきます。例題を解きながら見ていきます。

コツは一度に全部考えない, 困難は分割する

【例①】関数 $y=2\cos\theta-1$ 　 $\left(\dfrac{\pi}{6}\leqq\theta\leqq\dfrac54\pi\right)$ の最大値と最小値を求め, そのときの $\theta$ の値を求めよ。
【解法】一見複雑そうですが, $\cos\theta$ だけの最大値, 最小値を, 与えられた $\theta$ の範囲(下図緑色の範囲)で考えればいいだけです。なぜなら, $\cos\theta$ の値の大小が, 関数の値の大小に直結するから。そこで, 円を描いて考えると, $\cos\theta=\dfrac{x}{r}$ だから, $x$ の値が最大のところが, $\cos\theta$ の値も最大で, $x$ の値が最小のところが, $\cos\theta$ の値も最小になる。したがって, 下図赤色の印が $x$ 座標が最大になるので, $\cos\theta$ の値も最大で, その値は, $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ 。下図青色の印が $x$ 座標が最小になるので, $\cos\theta$ の値も最小で, その値は, $\cos\pi=-1$ 。
以上より, $\cos\theta$ の取りうる範囲は,
$-1\leqq\cos\theta\leqq\dfrac{\sqrt3}{2}$
関数の右辺は, $2\cos\theta-1$ なので, これを2倍して,
$-2\leqq2\cos\theta\leqq\sqrt3$
次に各辺に $-1$ を加えて,
$-3\leqq2\cos\theta-1\leqq\sqrt3-1$
したがって,
関数の最大値は, $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ のとき, $\sqrt3-1$ ,
最小値は, $\theta=\pi$ のとき, $-3$ となる。

【例②】関数 $y=\tan\left(2\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$ 　 $\left(0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{4}\right)$ の最大値と最小値を求め, そのときの $\theta$ の値を求めよ。
【解法】これは, 関数の $2\theta-\dfrac{\pi}{4}$ の範囲を再定義し, それを使って解いていくことになります。
そこで範囲を再定義すると,
$0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{4}\Longrightarrow0\leqq2\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}\Longrightarrow-\dfrac{\pi}{4}\leqq2\theta-\dfrac{\pi}{4}\leqq\dfrac{\pi}{4}$
となり, $2\theta-\dfrac{\pi}{4}=t$ と置くと,
$y=\tan t$ 　 $-\dfrac{\pi}{4}\leqq t\leqq\dfrac{\pi}{4}$
となり, $\tan\theta=\dfrac{y}{x}$ で与えられることから, $x$ 座標が小さくなり, $y$ 座標が大きくなるところが, 最大値, 最小値になる。下図のように円を描いて調べると, 緑色の範囲では,最大値は赤色のところで, $t=\dfrac{\pi}{4}$ , その値は $\tan\dfrac{\pi}{4}=1$ , 最小値は青色のところで, $t=-\dfrac{\pi}{4}$ , その値は $\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1$ となる。
そのときの, $\theta$ の値を求めると,
$t=2\theta-\dfrac{\pi}{4}$ だから,
最大値を与える $\theta$ は, $2\theta-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}$ より, $\theta=\dfrac{\pi}{4}$
最小値を与える $\theta$ は, $2\theta-\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\pi}{4}$ より, $\theta=0$
したがって,
関数の最大値は, $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ のとき, 1,
最小値は, $\theta=0$ のとき, $-1$ となる。

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