高校数学：2つの円の交点を通る図形の式の証明

2021年5月13日2022年5月2日

こんにちは。今回は2つの円の交点を通る図形がなぜあの式で表されるかについて書いておきます。

あの式とは

2つの円の方程式を
$x^2+y^2+ax+by+c=0$ , $x^2+y^2+dx+ey+f=0$
とします。このとき, この2つの円の交点を通る直線, または円の方程式が
$( x^2+y^2+ax+by+c )+k( x^2+y^2+dx+ey+f )=0$ 　 $( k$ は実数)
で与えられることを証明します。

証明

【証明】
円の方程式を $f( x, y )=x^2+y^2+ax+by+c=0$ , $g( x, y )=x^2+y^2+dx+ey+f=0$ として, 交点が $( p, q )$ とします。
このとき, この点は2つの円の交点なので, $f( p, q )=0$ , $g( p, q )=0$ が成り立ちます。
今, $g( p, q )=0$ の両辺を $k$ 倍したところで, $kg( p, q )=0$ であり,
$f( p, q )+kg( p, q )=0$ が成り立つ。
したがって,
$f( x, y )+kg( x, y )=0$ は $k$ の値に関係なく, 点 $( p, q )$ を通る。
したがって, この式は点 $( p, q )$ を通る図形を表す。
ゆえに, 2つの円の交点を通る図形の方程式は
$( x^2+y^2+ax+by+c )+k( x^2+y^2+dx+ey+f )=0$ 　 $( k$ は実数)
で与えられる。特に $k=-1$ では直線になる。
$k\neq-1$ のとき円の方程式になる。

さらに深堀したい人はこちらの記事(円束)をご参照ください。

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