高校数学：軌跡の基本的な解法①

こんにちは。相城です。今回は軌跡の基本的な解法について触れておきます。例題を解きながら見ていきます。

軌跡の基本的な解法①

【例①】2点A(2, 0), B(0, 4)に対して, AP $=$ BPを満たす点Pの軌跡を求めよ。
【解法】点P( $x, y$ )とすると,
AP $=$ BPであるから, AP $^2=$ BP $^2\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
AP $^2=( x-2 )^2+y^2$ , BP $^2=x^2+( y-4 )^2$
$\textcircled{\scriptsize 1}$ より,
$( x-2)^2+y^2=x^2+( y-4 )^2$
$\cancel{x^2}-4x+4+\cancel{y^2}=\cancel{x^2}+\cancel{y^2}-8y+16$
$-4x+8y-12=0$
$x-2y+3=0$
よって, 点Pはこの直線上にある。
したがって, 求める軌跡は $x-2y+3=0$

【例②】2点A( $-4$ , $0$ ), B(2, 2)に対して, AP $^2+$ BP $^2$ $=$ 24を満たす点Pの軌跡を求めよ。
【解法】点P( $x, y$ )とすると,
AP $^2=(x+4)^2+y^2$
BP $^2=(x-2)^2+(y-2)^2$
問題より,
$(x+4)^2+y^2+(x-2)^2+(y-2)^2=24$
$x^2+8x+16+y^2+x^2-4x+4+y^2-4y+4=24$
$2x^2+4x+2y^2-4y=0$
$x^2+2x+y^2-2y=0$
$(x+1)^2+(y-1)^2=2$
よって, 点Pはこの円上にある。
したがって, 求める軌跡は, 点 $(-1, 1)$ を中心とする半径 $\sqrt2$ の円

【例③】2点O(0, 0), A(9, 0)からの距離の比が, $2 : 1$ である点Pの軌跡を求めよ。
【解法】点PをP( $x , y$ )とすると,
$\text{OP} : \text{AP}= 2 : 1$ なので, $\text{OP}^2 : \text{AP}^2= 4 : 1\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
OP $^2=x^2+y^2$
AP $^2=(x-9)^2+y^2$
$\textcircled{\scriptsize 1}$ より,
$(x^2+y^2) : \left\{(x-9)^2+y^2\right\} = 4 : 1$
$4(x-9)^2+4y^2=x^2+y^2$
$3x^2-72x+324+3y^2=0$
$x^2-24x+108+y^2=0$
$(x-12)^2+y^2=36$
よって, 点Pはこの円上にある。
したがって, 求める軌跡は, 点( 12, 0 )を中心とする半径6の円

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