高校数学:軌跡の基本的な解法②

こんにちは。相城です。今回は軌跡の基本的な解法の第2弾ということで書いておきます。例題を見ながらいきます。

軌跡の基本的な解法②

【例】点Qが円x^2+y^2-4y=0上を動くとき, 点A(-4, 0)と点Qを結ぶ線分AQを3 : 1に内分する点Pの軌跡を求めよ。
【解法】点P(x, y), 点Q(p, q)とすると,
p^2+q^2-4q=0\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
点Pの座標は分点の公式を用いて,
\text{P}\left(\dfrac{3p+4}{3+1}, \dfrac{3q}{3+1}\right)\Longrightarrow\text{P}\left(\dfrac{3p+4}{4}, \dfrac{3q}{4}\right)
つまり,
x=\dfrac{3p+4}{4}, y=\dfrac{3q}{4}
これをそれぞれp, qについて解くと,
p=\dfrac{4x+4}{3}, q=\dfrac{4y}{3}
これを\textcircled{\scriptsize 1}に代入して,
\left(\dfrac{4x+4}{3}\right)^2+\left(\dfrac{4y}{3}\right)^2-4\cdot\dfrac{4y}{3}=0
\dfrac{16}{9}(x+1)^2+\dfrac{16}{9}y^2-\dfrac{16}{3}y=0
(x+1)^2+\left(y-\dfrac32\right)^2=\dfrac94
よって, 点Pはこの円上にある。
したがって, 求める軌跡は点\left(-1, \dfrac32\right)とする半径\dfrac32の円

解法のコツ
\textcircled{\scriptsize 1} 円周上の点QをQ(p, q)とし, 円の方程式に代入しp, qの関係式をつくる。
\textcircled{\scriptsize 2} 点P(x, y)p, qを用いて表す。
\textcircled{\scriptsize 3} \textcircled{\scriptsize 2}で求めた式を, p, qについて解き, \textcircled{\scriptsize 1}の関係式に代入して求める。

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