高校数学:軌跡の基本的な解法③

こんにちは。相城です。今回は軌跡の基本的な解法の第3弾です。例題を見ながらいきましょう。

軌跡の基本的な解法③

【例】tがすべての実数値をとって変化するとき, 次の式で表される点(x, y)はどのような図形上を動くか求めよ。
x=2t, y=4t^2-3t+1
【解法】x=2ttについて解き, yに代入する。
与式から, t=\dfrac{x}{2}なので, これをyに代入すると,
y=4\cdot\left(\dfrac{x}{2}\right)^2-3\cdot\dfrac{x}{2}+1
y=x^2-\dfrac32x+1
よって, 点(x, y)は放物線y=x^2-\dfrac32x+1上を動く。

解法のコツ
片方の式をtについて解き, もう片方に代入してx, yの関係式をつくる。

【例】tがすべての実数値をとって変化するとき, 放物線y=x^2-2(t+2)x+3t^2+tの頂点Pの軌跡を求めよ。
【解法】まずは平方完成する。
\begin{array}{lll}y&=&\left\{x-(t+2)\right\}^2-(t+2)^2+3t^2+t\\&=&\left\{x-(t+2)\right\}^2+2t^2-3t-4\end{array}
よって, 頂点の座標Pを(x, y)とすると,
x=t+2\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
y=2t^2-3t-4\cdots\textcircled{\scriptsize 2}
となり,
\textcircled{\scriptsize 1}から,
t=x-2となり, これを\textcircled{\scriptsize 2}に代入すると,
\begin{array}{lll}y&=&2(x-2)^2-3(x-2)-4\\&=&2x^2-11x+10\cdots\textcircled{\scriptsize 3}\end{array}
よって, 点Pはこの放物線\textcircled{\scriptsize 3}上にある。
したがって, 求める点Pの軌跡は放物線y=2x^2-11x+10

解法のコツ
\textcircled{\scriptsize 1} 頂点のPの座標(x, y)をそれぞれtを用いて表す。
\textcircled{\scriptsize 2} 片方をtについて解き, もう片方に代入して求める。

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