高校数学:軌跡の基本的な解法①

こんにちは。相城です。今回は軌跡の基本的な解法について触れておきます。例題を解きながら見ていきます。

軌跡の基本的な解法①

【例①】2点A(2, 0), B(0, 4)に対して, AP=BPを満たす点Pの軌跡を求めよ。
【解法】点P( x, y )とすると,
AP=BPであるから, AP^2=BP^2\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
AP^2=( x-2 )^2+y^2, BP^2=x^2+( y-4 )^2
\textcircled{\scriptsize 1}より,
( x-2)^2+y^2=x^2+( y-4 )^2
\cancel{x^2}-4x+4+\cancel{y^2}=\cancel{x^2}+\cancel{y^2}-8y+16
-4x+8y-12=0
x-2y+3=0
よって, 点Pはこの直線上にある。
したがって, 求める軌跡はx-2y+3=0

【例②】2点A(-4, 0), B(2, 2)に対して, AP^2+BP^2=24を満たす点Pの軌跡を求めよ。
【解法】点P( x, y )とすると,
AP^2=(x+4)^2+y^2
BP^2=(x-2)^2+(y-2)^2
問題より,
(x+4)^2+y^2+(x-2)^2+(y-2)^2=24
x^2+8x+16+y^2+x^2-4x+4+y^2-4y+4=24
2x^2+4x+2y^2-4y=0
x^2+2x+y^2-2y=0
(x+1)^2+(y-1)^2=2
よって, 点Pはこの円上にある。
したがって, 求める軌跡は, 点(-1, 1)を中心とする半径\sqrt2の円

【例③】2点O(0, 0), A(9, 0)からの距離の比が, 2 : 1である点Pの軌跡を求めよ。
【解法】点PをP( x , y )とすると,
\text{OP} : \text{AP}= 2 : 1なので, \text{OP}^2 : \text{AP}^2= 4 : 1\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
OP^2=x^2+y^2
AP^2=(x-9)^2+y^2
\textcircled{\scriptsize 1}より,
(x^2+y^2) : \left\{(x-9)^2+y^2\right\} = 4 : 1
4(x-9)^2+4y^2=x^2+y^2
3x^2-72x+324+3y^2=0
x^2-24x+108+y^2=0
(x-12)^2+y^2=36
よって, 点Pはこの円上にある。
したがって, 求める軌跡は, 点( 12, 0 )を中心とする半径6の円

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。(スパム対策)