TikZ:高校数学:領域と最大値・最小値

こんにちは。今回はある領域において, 式のとる値の最大値, 最小値について調べてみたいと思います。典型パターンを記しておきます。

グラフの切片を利用して考える

【例題】x, yが4つの不等式x\geqq0, y\geqq0, x+y-4\leqq0, 2x-y-5\leqq0を同時に満たすとき, 2x+yの最大値と最小値を求めよ。
【解法】まずは4つの不等式の表す領域を図示する。
x+y-4\leqq0より, y\leqq-x+4
2x-y-5\leqq0より, y\geqq2x-5
これらと, x\geqq0, y\geqq0より, 4つの不等式が表す領域は下図の色を付けた部分(境界線は含む)である。
2つのグラフy=-x+4y=2x-5のグラフの交点は(3, 1)である。

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ここで2x+yのとる値をkとすると,
2x+y=kとなり, これをyについて解くと,
y=-2x+kとなる。このときkは一次関数y=-2x+kの切片になるので, このグラフが上の領域のどこを通るときが切片kが最大値になるか, 最小値になるかを見ていけばよいことになる。
それを図示すると,

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このように切片kが最大になるのは青点を通るときで, x=3, y=1のとき。その値は2x+y=kより, k=7, 最小値は赤点を通るときで, x=0, y=0のとき。その値は2x+y=kより, k=0となります。
以上より,
2x+yの最大値は, x=3, y=1のときで7。最小値はx=0, y=0のときで0。
このような感じで解いていきます。

流れ
\textcircled{\scriptsize 1} x, yのとる領域を図示する。
\textcircled{\scriptsize 2} 求める値をkとおき, yについて解き, kの値を関数yの一部として扱う。
今回は切片になる。
\textcircled{\scriptsize 3} 領域のどこを通るのが最大, 最小になるか調べて答える。
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