TikZ:高校数学:底が1より小さいと不等号の向きが変わるのはなぜ?

こんにちは。今回は対数を含む不等式で底が1より小さい正の数のとき, なぜ不等号の向きが変わるのか。それについて触れておきたいと思います。

理由は対数関数のグラフが異なるから

まず底が1より大きい場合の例をやってみます。
【例】\log_2x>1を解け。
【解法】問題が聞いていることは, y=\log_2xのグラフで1より大きいい範囲を求めなさいということです。以下グラフと合わせながら見ていきます。
真数条件よりx>0
与式は, \log_2x>\log_2{2}と考えることができます。
y=\log_2xのグラフは以下のようで, x=2\ (\log_2{2})は青印のところ。不等号はそれより大きい部分を求めているので, x=2より大きい範囲になります。したがって, x>2。真数条件と合わせてx>2\cdots(答)
不等号の向きが変わらないのは, グラフが単調増加(ずっと右上がりのグラフ)だからです。
ですから底が1より大きいとき, 真数条件の考慮をして, 単純にx>2とできます。

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次に底が\dfrac12になるとどうなるか見ていきます。
【例】\log_{\frac12}x>1を解け。
【解法】問題が聞いていることは, y=\log_{\frac12}xのグラフで1より大きいい範囲を求めなさいということです。以下グラフと合わせながら見ていきます。
真数条件よりx>0
与式は, \log_{\frac12}x>\log_{\frac12}\dfrac12と考えることができます。
y=\log_{\frac12}xのグラフは以下のようで, x=\dfrac12\ (\log_{\frac12}{\frac12})は青印のところ。不等号はそれより大きい部分を求めているので, x=\dfrac12より小さい範囲になります。したがって, x<\dfrac12(不等号の向きが変わった)。真数条件と合わせて, 0<x<\dfrac12\cdots(答)
不等号の向きが変わるのは, グラフが単調減少(ずっと右下がりのグラフ)だからです。
ですから底が1より小さい正の数のとき, 真数条件の考慮を入れたとしても, 単純にx>\dfrac12とはなりません。

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このように底が1より小さいとグラフが右下がりになるので, 不等号の向きが逆になります。その点注意が必要ですね。では。

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