TikZ：高校数学：底が1より小さいと不等号の向きが変わるのはなぜ？

こんにちは。今回は対数を含む不等式で底が1より小さい正の数のとき, なぜ不等号の向きが変わるのか。それについて触れておきたいと思います。

理由は対数関数のグラフが異なるから

まず底が1より大きい場合の例をやってみます。
【例】 $\log_2x>1$ を解け。
【解法】問題が聞いていることは, $y=\log_2x$ のグラフで1より大きいい範囲を求めなさいということです。以下グラフと合わせながら見ていきます。
真数条件より $x>0$
与式は, $\log_2x>\log_2{2}$ と考えることができます。
$y=\log_2x$ のグラフは以下のようで, $x=2\ (\log_2{2})$ は青印のところ。不等号はそれより大きい部分を求めているので, $x=2$ より大きい範囲になります。したがって, $x>2$ 。真数条件と合わせて $x>2\cdots$ (答)
不等号の向きが変わらないのは, グラフが単調増加(ずっと右上がりのグラフ)だからです。
ですから底が1より大きいとき, 真数条件の考慮をして, 単純に $x>2$ とできます。

次に底が $\dfrac12$ になるとどうなるか見ていきます。
【例】 $\log_{\frac12}x>1$ を解け。
【解法】問題が聞いていることは, $y=\log_{\frac12}x$ のグラフで1より大きいい範囲を求めなさいということです。以下グラフと合わせながら見ていきます。
真数条件より $x>0$
与式は, $\log_{\frac12}x>\log_{\frac12}\dfrac12$ と考えることができます。
$y=\log_{\frac12}x$ のグラフは以下のようで, $x=\dfrac12\ (\log_{\frac12}{\frac12})$ は青印のところ。不等号はそれより大きい部分を求めているので, $x=\dfrac12$ より小さい範囲になります。したがって, $x<\dfrac12$ (不等号の向きが変わった)。真数条件と合わせて, $0<x<\dfrac12\cdots$ (答)
不等号の向きが変わるのは, グラフが単調減少(ずっと右下がりのグラフ)だからです。
ですから底が1より小さい正の数のとき, 真数条件の考慮を入れたとしても, 単純に $x>\dfrac12$ とはなりません。

このように底が1より小さいとグラフが右下がりになるので, 不等号の向きが逆になります。その点注意が必要ですね。では。

理由は対数関数のグラフが異なるから

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