こんにちは。今回は対数を含む不等式で底が1より小さい正の数のとき, なぜ不等号の向きが変わるのか。それについて触れておきたいと思います。
まず底が1より大きい場合の例をやってみます。
【例】を解け。
【解法】問題が聞いていることは, のグラフで1より大きいい範囲を求めなさいということです。以下グラフと合わせながら見ていきます。
真数条件より
与式は, と考えることができます。
のグラフは以下のようで,
は青印のところ。不等号はそれより大きい部分を求めているので,
より大きい範囲になります。したがって,
。真数条件と合わせて
(答)
不等号の向きが変わらないのは, グラフが単調増加(ずっと右上がりのグラフ)だからです。
ですから底が1より大きいとき, 真数条件の考慮をして, 単純にとできます。
次に底が
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【例】
![Rendered by QuickLaTeX.com \log_{\frac12}x>1](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d96165934d42690d57da2f22977b5705_l3.png)
【解法】問題が聞いていることは,
![Rendered by QuickLaTeX.com y=\log_{\frac12}x](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-baa579c2aa58b62141c25db589c84bb0_l3.png)
真数条件より
![Rendered by QuickLaTeX.com x>0](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-476b0ecb23893a85940da29f29aee82c_l3.png)
与式は,
![Rendered by QuickLaTeX.com \log_{\frac12}x>\log_{\frac12}\dfrac12](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-53051076bc59fec6f697037d6c744b1e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com y=\log_{\frac12}x](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-baa579c2aa58b62141c25db589c84bb0_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x=\dfrac12\ (\log_{\frac12}{\frac12})](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-30ea212561c7de4765d60644d7e453eb_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x=\dfrac12](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ddcb0a8fe1863f3760e871c2573883d1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x<\dfrac12](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f62ca1241e98e6b8a4cf7c3d298cc434_l3.png)
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不等号の向きが変わるのは, グラフが単調減少(ずっと右下がりのグラフ)だからです。
ですから底が1より小さい正の数のとき, 真数条件の考慮を入れたとしても, 単純に
![Rendered by QuickLaTeX.com x>\dfrac12](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-086c0d1e6d3d0709be12fb4c0a2b4e24_l3.png)
このように底が1より小さいとグラフが右下がりになるので, 不等号の向きが逆になります。その点注意が必要ですね。では。