高校数学：2直線のなす角の解法(加法定理編)

2021年6月17日2021年8月29日

こんにちは。今回は $\tan$ の加法定理を用いた2直線のなす角について書いておきます。例題を解きながら見ていきます。

例題を見ていこう

【例題】2直線 $x-2y+2=0$ , $3x-y+2=0$ のなす角 $\theta$ を求めよ。ただし, $\theta$ は鋭角とする。
【解法】先ずは与式を $y$ について解き, グラフを描いて様子を見る。

グラフ中の $\theta$ を求めるのですが, 角度に関係するのは傾き具合だけなので, 2直線を原点を通る直線として考えても差し支えないので, 以下のようにして考えます。もちろん上の2直線のまま考えても大丈夫ですが, 見やすくするためと思ってください。

このとき, $\tan\alpha=3$ , $\tan\beta=\dfrac12$ で $\theta=\alpha-\beta$ なので,
$\begin{array}{rcl}\tan\theta&=&\tan\left(\alpha-\beta\right)\\&=&\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\\&=&\dfrac{3-\dfrac12}{1+3\cdot\dfrac12}\\&=&\dfrac{6-1}{2+3}\\&=&1\end{array}$
よって $\theta=\dfrac{\pi}{4}$
このような感じで求めていきます。

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