高校数学:2直線のなす角の解法(加法定理編)

こんにちは。今回は\tanの加法定理を用いた2直線のなす角について書いておきます。例題を解きながら見ていきます。

例題を見ていこう

【例題】2直線x-2y+2=0, 3x-y+2=0のなす角\thetaを求めよ。ただし, \thetaは鋭角とする。
【解法】先ずは与式をyについて解き, グラフを描いて様子を見る。

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グラフ中の\thetaを求めるのですが, 角度に関係するのは傾き具合だけなので, 2直線を原点を通る直線として考えても差し支えないので, 以下のようにして考えます。もちろん上の2直線のまま考えても大丈夫ですが, 見やすくするためと思ってください。

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このとき, \tan\alpha=3, \tan\beta=\dfrac12\theta=\alpha-\betaなので,
\begin{array}{rcl}\tan\theta&=&\tan\left(\alpha-\beta\right)\\&=&\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\\&=&\dfrac{3-\dfrac12}{1+3\cdot\dfrac12}\\&=&\dfrac{6-1}{2+3}\\&=&1\end{array}
よって\theta=\dfrac{\pi}{4}
このような感じで求めていきます。

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