高校数学：S_n-S_n-1=a_n,S_n+1-S_n=a_n+1の導出と使い道

2021年6月19日2024年5月4日

こんにちは。今回は数列の基本公式 $S_n-S_{n-1}=a_n$ と $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ の導出を書いておきます。最後に使い道を示しておきます。

和の差をとると求まる

$S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{n-1}+a_n\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
$S_{n-1}=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$
$\textcircled{\scriptsize 1}-\textcircled{\scriptsize 2}$ より
$\begin{array}{cccccccccccccc}&S_n&=&a_1&+&a_2&+&a_3&+&\cdots&+&a_{n-1}&+&a_n\\-)&S_{n-1}&=&a_1&+&a_2&+&a_3&+&\cdots&+&a_{n-1}&&\\ \hline&S_n-S_{n-1}&=&&&&&&&&&&&a_n\end{array}$
よって,
$S_n-S_{n-1}=a_n$
同様にして,
$S_{n+1}=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n+a_{n+1}\cdots\textcircled{\scriptsize 3}$
$S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\cdots\textcircled{\scriptsize 4}$
$\textcircled{\scriptsize 3}-\textcircled{\scriptsize 4}$ より
$\begin{array}{cccccccccccccc}&S_{n+1}&=&a_1&+&a_2&+&a_3&+&\cdots&+&a_n&+&a_{n+1}\\-)&S_n&=&a_1&+&a_2&+&a_3&+&\cdots&+&a_n&&\\ \hline&S_{n+1}-S_n&=&&&&&&&&&&&a_{n+1}\end{array}$
よって,
$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$
以上になります。