こんにちは。今回は複素数について触れておきます。基本事項の確認だと思ってください。
複素数は回転を表す
下の図のように, 1に(負の数)をかけることを数直線上で180
の回転とみる。すると下の図のように,
1が倍されることで180
回転して
になり, 再度
(180
)をかけるとで, 1に戻る。このように, 負の数をかけることは, 数直線上では180
の回転を意味する。
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![](https://www.mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/uploads/2021/06/fukuso1-2.png)
右の図は, 1に
をかけた場合の様子を表しているが, この場合1は数直線上で原点を中心に, 180
回転して, かつ2倍されている。このことは, 後述する複素数と話がつながってくるので, 覚えておこう。そして,
に
をかけると, 原点を中心に180
回転し, かつ3倍されて6となる。つまり,
である。
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また, 同じ数字を2回かけて, 負の数になる数が数直線上には存在しないことがわかる。
が存在していなったときに, いい考えを示した人がいました。それは,
をかけることが180
の回転なら,
はその半分の90
の回転としようと考えたのです。そうすると, どうでしょう。一旦数直線から離れることになります。数直線上にない数なので, 想像上の数(イマジナリーナンバー)の頭文字をとって
とすることにしました。これで実数軸と虚数軸が誕生したことになります。1回の回転が90
なので, 2回かけると180
になります。つまり,
回転)ですから,
回転
回転
回転
))となるわけです。
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複素数の積の図形的意味
次に計算結果が分かりやすいように, 右図のような, 大きさ2, 偏角30
の複素数を考えると, その複素数は
で表される。同様に大きさ4, 偏角60
の複素数を考えると, その複素数は
で表される。
このとき, 2つの複素数の積は
![Rendered by QuickLaTeX.com (\sqrt3+i)(2+2\sqrt3 i)=2\sqrt3+6i+2i-2\sqrt3=8i](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f8135624c06873c77803da6a2c7d2125_l3.png)
となる。
ということは虚数軸上にあり, 大きさ8, 偏角90
である。
この大きさ8というのは, 初めの大きさ2と大きさ4の積で, 4倍されたことを意味し, 偏角90
というのは, 初めの偏角30
と偏角60
の和になっている。言い換えれば原点を中心に, 偏角30
に対して, 反時計回りに60
回転したことを意味する。
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![Rendered by QuickLaTeX.com \sqrt3+i](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7d7bc321bbf086e008656f5a46b3160b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com ^{\circ}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-24b5359298fa467a4b68ffc5605538fe_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 2+2\sqrt3](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7c8db33ce1984147714fda5a7c0c1777_l3.png)
このとき, 2つの複素数の積は
![Rendered by QuickLaTeX.com (\sqrt3+i)(2+2\sqrt3 i)=2\sqrt3+6i+2i-2\sqrt3=8i](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f8135624c06873c77803da6a2c7d2125_l3.png)
となる。
![Rendered by QuickLaTeX.com 8i](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f4b5c620a2df3507f6cd773e2039a2ca_l3.png)
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この大きさ8というのは, 初めの大きさ2と大きさ4の積で, 4倍されたことを意味し, 偏角90
![Rendered by QuickLaTeX.com ^{\circ}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-24b5359298fa467a4b68ffc5605538fe_l3.png)
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これを極形式で表すと,
複素数の商の図形的意味
先と同じく, 大きさ2, 偏角30
の複素数を考えると, その複素数は
で表される。同様に大きさ4, 偏角60
の複素数を考えると, その複素数は
で表される。
このとき, 2つの複素数の商は
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{\sqrt3+i}{2+2\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3-i}{4}=\dfrac12\left(\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{i}{2}\right)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7484deb1ae7b002cb1e1dee02fa8133d_l3.png)
このとき, この計算結果の複素数の大きさは
で偏角は
である。
この大きさ
というのは, 初めの大きさ2と大きさ4の商で,
倍されたことを意味し, 偏角
というのは, 初めの偏角30
と偏角60
の差になっている。言い換えれば原点を中心に, 偏角30
に対して, 時計回りに60
回転したことを意味している。
![Rendered by QuickLaTeX.com ^{\circ}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-24b5359298fa467a4b68ffc5605538fe_l3.png)
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![Rendered by QuickLaTeX.com ^{\circ}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-24b5359298fa467a4b68ffc5605538fe_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 2+2\sqrt3](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7c8db33ce1984147714fda5a7c0c1777_l3.png)
このとき, 2つの複素数の商は
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac{\sqrt3+i}{2+2\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3-i}{4}=\dfrac12\left(\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{i}{2}\right)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7484deb1ae7b002cb1e1dee02fa8133d_l3.png)
このとき, この計算結果の複素数の大きさは
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac12](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e7dfb6329aa1b64418d11bfff53c2a1b_l3.png)
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この大きさ
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac12](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e7dfb6329aa1b64418d11bfff53c2a1b_l3.png)
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これを極形式で表すと,