高校数学：複素数の積と商

こんにちは。今回は複素数について触れておきます。基本事項の確認だと思ってください。

複素数は回転を表す

下の図のように, 1に $-1$ (負の数)をかけることを数直線上で180 $^{\circ}$ の回転とみる。すると下の図のように,
1が $-1$ 倍されることで180 $^{\circ}$ 回転して $-1$ になり, 再度 $-1$ (180 $^{\circ}$ )をかけるとで, 1に戻る。このように, 負の数をかけることは, 数直線上では180 $^{\circ}$ の回転を意味する。

右の図は, 1に $-2$ をかけた場合の様子を表しているが, この場合1は数直線上で原点を中心に, 180 $^{\circ}$ 回転して, かつ2倍されている。このことは, 後述する複素数と話がつながってくるので, 覚えておこう。そして, $-2$ に $-3$ をかけると, 原点を中心に180 $^{\circ}$ 回転し, かつ3倍されて6となる。つまり, $1\times(-2)\times(-3)=6$ である。

また, 同じ数字を2回かけて, 負の数になる数が数直線上には存在しないことがわかる。

$\sqrt{-1}$ が存在していなったときに, いい考えを示した人がいました。それは, $-1$ をかけることが180 $^{\circ}$ の回転なら, $\sqrt{-1}$ はその半分の90 $^{\circ}$ の回転としようと考えたのです。そうすると, どうでしょう。一旦数直線から離れることになります。数直線上にない数なので, 想像上の数(イマジナリーナンバー)の頭文字をとって $i$ とすることにしました。これで実数軸と虚数軸が誕生したことになります。1回の回転が90 $^{\circ}$ なので, 2回かけると180 $^{\circ}$ になります。つまり, $\sqrt{-1}=i\ (90^{\circ}$ 回転)ですから, $\sqrt{-1}\times\sqrt{-1}=i\times i=-1(90^{\circ}$ 回転 $\times90^{\circ}$ 回転 $=180^{\circ}$ 回転 $(90^{\circ}+90^{\circ}$ ))となるわけです。

複素数の積の図形的意味

次に計算結果が分かりやすいように, 右図のような, 大きさ2, 偏角30 $^{\circ}$ の複素数を考えると, その複素数は $\sqrt3+i$ で表される。同様に大きさ4, 偏角60 $^{\circ}$ の複素数を考えると, その複素数は $2+2\sqrt3$ で表される。
このとき, 2つの複素数の積は
$(\sqrt3+i)(2+2\sqrt3 i)=2\sqrt3+6i+2i-2\sqrt3=8i$
となる。 $8i$ ということは虚数軸上にあり, 大きさ8, 偏角90 $^{\circ}$ である。
この大きさ8というのは, 初めの大きさ2と大きさ4の積で, 4倍されたことを意味し, 偏角90 $^{\circ}$ というのは, 初めの偏角30 $^{\circ}$ と偏角60 $^{\circ}$ の和になっている。言い換えれば原点を中心に, 偏角30 $^{\circ}$ に対して, 反時計回りに60 $^{\circ}$ 回転したことを意味する。

これを極形式で表すと,
$\begin{array}{lll}&&2\left(\cos30^{\circ}+i\sin30^{\circ}\right)\times 4\left(\cos60^{\circ}+i\sin60^{\circ}\right)\\&=&8\left(\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ}\right)\\&=&8i\end{array}$

複素数の商の図形的意味

先と同じく, 大きさ2, 偏角30 $^{\circ}$ の複素数を考えると, その複素数は $\sqrt3+i$ で表される。同様に大きさ4, 偏角60 $^{\circ}$ の複素数を考えると, その複素数は $2+2\sqrt3$ で表される。
このとき, 2つの複素数の商は
$\dfrac{\sqrt3+i}{2+2\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3-i}{4}=\dfrac12\left(\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{i}{2}\right)$
このとき, この計算結果の複素数の大きさは $\dfrac12$ で偏角は $-30^{\circ}$ である。
この大きさ $\dfrac12$ というのは, 初めの大きさ2と大きさ4の商で, $\dfrac14$ 倍されたことを意味し, 偏角 $-30^{\circ}$ というのは, 初めの偏角30 $^{\circ}$ と偏角60 $^{\circ}$ の差になっている。言い換えれば原点を中心に, 偏角30 $^{\circ}$ に対して, 時計回りに60 $^{\circ}$ 回転したことを意味している。

これを極形式で表すと,
$\begin{array}{lll}&&2\left(\cos30^{\circ}+i\sin30^{\circ}\right)\div 4\left(\cos60^{\circ}+i\sin60^{\circ}\right)\\&=&\dfrac12\left\{\cos(-30^{\circ})+i\sin(-30^{\circ})\right\}\\&=&\dfrac12\left(\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{i}{2}\right)\end{array}$

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