高校数学:数列・分数型の漸化式の解法①

こんにちは。今回は分数型の数列の解法を書いておきます。例題を見ながらいきましょう。

シンプルな分数型は逆数で考える

【例】a_1=\dfrac12, a_n=\dfrac{a_n}{2-a_n}で定義される数列の一般項\{a_n\}を求めよ。
【解法】a_{n+1}=0とすると, 与式よりa_n=0, a_n=0ならa_{n-1}=0となり, これを繰り返すと, a_1=0となるが, a_1=\dfrac12であるので矛盾する。よって, a_n\neq0
このとき, 与式の両辺の逆数をとると,
\begin{array}{lll}\dfrac{1}{a_{n+1}}&=&\dfrac{2-a_n}{a_n}\\&=&\dfrac{2}{a_n}-1\end{array}
ここで, b_n=\dfrac{1}{a_n}とおくと,
b_{n+1}=2b_n-1\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
式変形すると
b_{n+1}-1=2(b_n-1)\cdots\textcircled{\scriptsize 2}
数列b_n-1は初項b_1-1=\dfrac{1}{a_1}-1=1, 公比2の等比数列である。
よって,
b_n-1=2^{n-1}
b_n=2^{n-1}+1
となり,
\dfrac{1}{a_n}=2^{n-1}+1
から
a_n=\dfrac{1}{2^{n-1}+1}
となる。

\textcircled{\scriptsize 2}の変形に特性方程式を用いるが答案には書かない方がよい。
特性方程式:b_nの漸化式\textcircled{\scriptsize 1}x=2x-1として得られるx=1を用いる手法。

分数型の漸化式①
a_{n+1}=\dfrac{r\cdot a_n}{p\cdot a_n+q}の型の漸化式は逆数をとって考えるとよい。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。(スパム対策)