高校数学：数列・分数型の漸化式の解法②

こんにちは。今回は分数型の漸化式を見ていきましょう分数型の漸化式①より複雑なものになります。例題を見ながらいきましょう。

特性方程式から誘導に乗ろう

【例】数列 $\{a_n\}$ が漸化式
$a_{n+1}=\dfrac{3a_n+2}{a_n+2}\ (n=1, 2, 3,\cdots), a_1=4$
で与えられている。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) $x=\dfrac{3x+2}{x+2}$ の2つの解を $\alpha, \beta\ (\alpha>\beta)$ とする。 $b_n=\dfrac{a_n-\alpha}{a_n-\beta}$ とするとき, 数列 $\{b_n\}$ は等比数列になることを示せ。
(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。
【解法】 $x=\dfrac{3x+2}{x+2}$ から,
$x(x+2)=3x+2$
$x^2-x-2=0$
$(x-2)(x+1)=0$
$\alpha>\beta$ より, $\alpha=2, \beta=-1$
したがって,
$b_n=\dfrac{a_n-2}{a_n+1}$ となり,
$b_{n+1}=\dfrac{a_{n+1}-2}{a_{n+1}+1}$ となる。 $\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
ここで, $\textcircled{\scriptsize 1}$ の分子と分母をそれぞれ計算すると,
分子は
$\begin{array}{lll}a_{n+1}-2&=&\dfrac{3a_n+2}{a_n+2}-2\\&=&\dfrac{3a_n+2-2(a_n+2)}{a_n+2}\\&=&\dfrac{a_n-2}{a_n+2}\end{array}$
分母は
$\begin{array}{lll}a_{n+1}+1&=&\dfrac{3a_n+2}{a_n+2}+1\\&=&\dfrac{3a_n+2+(a_n+2)}{a_n+2}\\&=&\dfrac{4(a_n+1)}{a_n+2}\end{array}$
したがって, $\textcircled{\scriptsize 1}$ は,
$b_{n+1}=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{a_n-2}{a_n+1}=\dfrac14b_n$
よって,
$b_{n+1}=\dfrac14b_n$ となり, 数列 $\{b_n\}$ は等比数列になることが示せた。
(2) $b_1=\dfrac{a_1-2}{a_1+1}=\dfrac25$
となり, $b_n$ は初項 $\dfrac25$ 公比 $\dfrac14$ の等比数列である。
$b_n=\dfrac25\left(\dfrac14\right)^{n-1}$
$\dfrac{a_n-2}{a_n+1}=\dfrac25\cdot\left(\dfrac14\right)^{n-1}$
$\dfrac{a_n-2}{a_n+1}=\dfrac{2}{5\cdot4^{n-1}}$
$5\cdot4^{n-1}(a_n-2)=2(a_n+1)$
$(5\cdot4^{n-1}-2)\cdot a_n=10\cdot4^{n-1}+2$
$a_n=\dfrac{10\cdot4^{n-1}+2}{5\cdot4^{n-1}-2}\cdots$ (答)

今回は問題文に $x$ の二次方程式となる特性方程式が登場しましたが, 普通は載っていないので, 自分で $a_{n+1}, a_n$ を $x$ とおいて, 特性方程式をつくって解いてください。あとは問題に沿うように解いていけば問題ないと思います。ただし, 特性方程式は答案用紙には書かない方がよいです。

分数型の漸化式②

特性方程式を解いて, 問題文にしたがって, 等比数列の形に持ち込もう。

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