高校数学:数列・分数型の漸化式の解法②

こんにちは。今回は分数型の漸化式を見ていきましょう分数型の漸化式①より複雑なものになります。例題を見ながらいきましょう。

特性方程式から誘導に乗ろう

【例】数列\{a_n\}が漸化式
a_{n+1}=\dfrac{3a_n+2}{a_n+2}\ (n=1, 2, 3,\cdots), a_1=4
で与えられている。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) x=\dfrac{3x+2}{x+2}の2つの解を\alpha, \beta\ (\alpha>\beta)とする。b_n=\dfrac{a_n-\alpha}{a_n-\beta}とするとき, 数列\{b_n\}は等比数列になることを示せ。
(2) 数列\{a_n\}の一般項を求めよ。
【解法】x=\dfrac{3x+2}{x+2}から,
x(x+2)=3x+2
x^2-x-2=0
(x-2)(x+1)=0
\alpha>\betaより, \alpha=2, \beta=-1
したがって,
b_n=\dfrac{a_n-2}{a_n+1}となり,
b_{n+1}=\dfrac{a_{n+1}-2}{a_{n+1}+1}となる。\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
ここで, \textcircled{\scriptsize 1}の分子と分母をそれぞれ計算すると,
分子は
\begin{array}{lll}a_{n+1}-2&=&\dfrac{3a_n+2}{a_n+2}-2\\&=&\dfrac{3a_n+2-2(a_n+2)}{a_n+2}\\&=&\dfrac{a_n-2}{a_n+2}\end{array}
分母は
\begin{array}{lll}a_{n+1}+1&=&\dfrac{3a_n+2}{a_n+2}+1\\&=&\dfrac{3a_n+2+(a_n+2)}{a_n+2}\\&=&\dfrac{4(a_n+1)}{a_n+2}\end{array}
したがって, \textcircled{\scriptsize 1}は,
b_{n+1}=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{a_n-2}{a_n+1}=\dfrac14b_n
よって,
b_{n+1}=\dfrac14b_nとなり, 数列\{b_n\}は等比数列になることが示せた。
(2) b_1=\dfrac{a_1-2}{a_1+1}=\dfrac25
となり, b_nは初項\dfrac25公比\dfrac14の等比数列である。
b_n=\dfrac25\left(\dfrac14\right)^{n-1}
\dfrac{a_n-2}{a_n+1}=\dfrac25\cdot\left(\dfrac14\right)^{n-1}
\dfrac{a_n-2}{a_n+1}=\dfrac{2}{5\cdot4^{n-1}}
5\cdot4^{n-1}(a_n-2)=2(a_n+1)
(5\cdot4^{n-1}-2)\cdot a_n=10\cdot4^{n-1}+2
a_n=\dfrac{10\cdot4^{n-1}+2}{5\cdot4^{n-1}-2}\cdots(答)

今回は問題文にxの二次方程式となる特性方程式が登場しましたが, 普通は載っていないので, 自分でa_{n+1}, a_nxとおいて, 特性方程式をつくって解いてください。あとは問題に沿うように解いていけば問題ないと思います。ただし, 特性方程式は答案用紙には書かない方がよいです。

分数型の漸化式②
特性方程式を解いて, 問題文にしたがって, 等比数列の形に持ち込もう。


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