こんにちは。今回は分数型の漸化式を見ていきましょう分数型の漸化式①より複雑なものになります。例題を見ながらいきましょう。
特性方程式から誘導に乗ろう
【例】数列が漸化式
で与えられている。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) の2つの解をとする。とするとき, 数列は等比数列になることを示せ。
(2) 数列の一般項を求めよ。
【解法】から,
より,
したがって,
となり,
となる。
ここで, の分子と分母をそれぞれ計算すると,
分子は
分母は
したがって, は,
よって,
となり, 数列は等比数列になることが示せた。
(2)
となり, は初項公比の等比数列である。
(答)
今回は問題文にの二次方程式となる特性方程式が登場しましたが, 普通は載っていないので, 自分でをとおいて, 特性方程式をつくって解いてください。あとは問題に沿うように解いていけば問題ないと思います。ただし, 特性方程式は答案用紙には書かない方がよいです。
分数型の漸化式②
特性方程式を解いて, 問題文にしたがって, 等比数列の形に持ち込もう。