高校数学：数学的帰納法と漸化式の解法

こんにちは。帰納法の解法を例題を解きながら見ていきましょう。

漸化式を利用して一般項を予測する

【例】 $a_1=3,\ a_{n+1}=\dfrac{{a_n}^2-1}{n+1}\ (n=1, 2, 3,\cdots)$ で定められる。数列 $\{a_n\}$ の一般項を予測して, それを数学的帰納法を用いて証明せよ。

【方針】漸化式を使って, 数列 $\left\{a_n\right\}$ を予測し, 数学的帰納法を用いて, それがすべての $n$ で成り立つことを示す。
【解法】 $n=1$ のとき,
$a_2=\dfrac{{a_1}^2-1}{1+1}=\dfrac{9-1}{2}=4$
$a_3=\dfrac{{a_2}^2-1}{2+1}=\dfrac{16-1}{3}=5$
$a_4=\dfrac{{a_3}^2-1}{3+1}=\dfrac{25-1}{4}=6$
以上より, 数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n=n+2$ と予測できる。 $\cdots\maru1$
これを数学的帰納法で証明すると,
$n=1$ のとき, $a_1=1+2=3$ で成り立つ。
$n=k$ で $\maru1$ が成り立つとすると,
$a_k=k+2$ が成り立ち,
$n=k+1$ のとき,
$\begin{array}{lll}a_{n+1}&=&\dfrac{(k+2)^2-1}{k+1}\\&=&\dfrac{k^2+4k+3}{k+1}\\&=&\dfrac{(k+3)\bcancel{(k+1)}}{\bcancel{k+1}}\\&=&k+3\\&=&(k+1)+2\end{array}$
よって, $n=k+1$ のときも成り立つ。
したがって, 数学的帰納法により, すべての自然数において, $a_n=n+2$ であることが示された。
つまり, 数列 $\{a_n\}$ の一般項は $n+2$