高校数学：複素数ωを用いた式の値の解法

こんにちは。基本事項かもしれませんが, $\omega$ を用いた式の値について書いておきます。例題を解きながら見ていきましょう。

ωの性質を用いて解く

$\omega$ は一般に1の3乗根のうち, 虚数であるものの1つを表します。
つまり $x^3=1$ を解いたときの虚数解の1つが $\omega$ になります。 $x^3=1$ の1を左辺に移項して因数分解すると,
$x^3-1=0$
$(x-1)(x^2+x+1)=0$
この $x^2+x+1=0$ を解いて得た虚数解の1つが $\omega$ になります。
ちなみに $\omega=\dfrac{-1\pm\sqrt3 i}{2}$ です。まさかこれを直に代入はしません。

ですから, $\omega$ には次のような性質があります。
$\maru{1}\ \omega^3=1$
$\maru{2}\ \omega^2+\omega+1=0$
基本的にこの2つの性質を用いて解法していくことになります。
それでは例題をやってみましょう。
【例】1の3乗根のうち, 虚数解であるものの1つを $\omega$ とするとき, 次の値を求めよ。
(1)　 $\omega^6+1$
(2)　 $\omega^4+\omega^2+1$
(3)　 $\omega^8+\omega^4$
【解法】
(1) $(\omega^3)^2+1=1^2+1=2\cdots$ (答)
(2) $\omega^3\cdot\omega+\omega^2+1=\omega^2+\omega+1=0\cdots$ (答)
(3) $(\omega^3)^2\cdot\omega^2+\omega^3\cdot\omega=\omega^2+\omega$
上の $\maru{2}$ より, $\omega^2+\omega=-1$
よって, $-1\cdots$ (答)

このような感じで解法していきます。