高校数学：数列・等比数列の性質を用いた解法②

2021年8月29日2022年5月2日

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こんにちは。今回は等比数列の性質を用いた解法の第二弾ということで書いておきます。例題を解きながら書いていきます。

両辺にrをかけるのがコツ

【例】等比数列をなす3つの数があって, それらの和が28で, 積が512であるとき, この3つの数を求めよ。
【解法】等比数列をなす3つの数の初項を $a$ , 公比を $r$ とすると, 3つの数は $a,\ ar,\ ar^2$ とおける。
その和は $a+ar+ar^2=28\cdots\maru{1}$
その積は $a\cdot ar\cdot ar^2=a^3r^3=512\cdots\maru{2}$
$\maru{2}$ から, $(ar)^3=8^3$ となり, $ar=8\cdots\maru{3}$ を得る。
$\maru{1}$ の両辺に $r$ をかけて,
$ar+ar\cdot r+ar\cdot r^2=28r$ とし, $\maru{3}$ を代入すると,
$8+8r+8r^2=28r$
$8r^2-20r+8=0$
$2r^2-5r+2=0$
$(r-2)(2r-1)=0$
$r=2, \dfrac12$
$r=2$ のとき, $\maru{3}$ から, $a=4$
3つの数は, $4,\ 8,\ 16$
$r=\dfrac12$ のとき, $\maru{3}$ から, $a=16$
3つの数は, $16,\ 8,\ 4$
よって求める3数は, $4,\ 8,\ 16$

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